談談求解最大公約數的歐幾里得算法

問題：給定兩個整數a和b，求解他們的最大公約數。

求解方法網上已經有不少資料，這裏只是談談求解方法的證實：

a能夠寫成a=kb+r(0<=r<b)，這裏設最大公約數永爲正數，所以無論a、b的正負性，也無論a的絕對值是否小於b的絕對值（當小於時k爲0，r等於a，最終的效果是同樣的）。假設c是公約數，則a=mc，b=nc，r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c，m-kn必定是個整數，所以c是a、b、r的公約數，進一步獲得a與b的公約數等於b與r的公約數，即a mod c = b mod c = r mod c = 0，簡化成符號表示爲cd(a,b)=cd(b, a mod b)。

下面是如何求得最大公約數，假設a mod b不爲0則繼續使用該公式b變成a，a mod b變成b，最後成爲cd(b, a mod b)=cd(a mod b,b mod (a mod b))，這就是遞歸公式。那麼最後假設a mod b等於0，那就是說明a與b的公約數就是b，而這個b也是求得的最大公約數，所以遞歸公式中止的條件是a mod b=0。