看圖輕鬆理解數據結構與算法系列(2-3樹)

前言

推出一個新系列，《看圖輕鬆理解數據結構和算法》，主要使用圖片來描述常見的數據結構和算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各類堆、各類隊列、各類列表、各類樹、各類圖、各類排序等等幾十篇的樣子。

2-3樹

2-3樹，是最簡單的B-樹，其中二、3主要體如今每一個非葉子節點都有2個或3個子節點，B-樹便是平衡樹，平衡樹是爲了解決不平衡樹查詢效率問題，常見的二叉平衡書有AVL樹，它雖然提升了查詢效率，可是插入操做效率不高，由於它須要再每次插入節點後維護樹的平衡，而爲了解決查詢效率同時有兼顧插入效率，因而提出了2-3樹。

2-3樹特色

• 2-3樹是一棵平衡樹，但不是二叉平衡樹。
• 對於高度相同的2-3樹和二叉樹，2-3樹的節點數要大於滿二叉樹，由於有些節點可能有三個子節點。
• 2-3樹能夠是一棵空樹。
• 對於2節點來講，該節點保存了一個key及對應的value，除此以外還保存了指向左右兩邊的子節點，子節點也是一個2-3節點，左子節點全部值小於key，右子節點全部值大於key。
• 對於3節點來講，該節點保存了兩個key及對應的value，除此以外還保存了指向左中右三個方向的子節點，子節點也是一個2-3節點，左子節點的全部值小於兩個key中較小的那個，中節點的全部值在兩個key值之間，右子節點大於兩個key中較大的那個。
• 對2-3樹進行中序遍歷能獲得一個排好序的序列。

插入操做

剛開始是空樹，插入節點「A」，建立根節點，

插入節點「B」，從根節點開始尋找存放的節點位置，與「A」節點合併後放到同一個葉子上，此時該葉子只包含「AB」兩個項目，無需分裂，

繼續插入節點「C」，從根節點開始尋找存放的節點位置，找到「AB」葉子節點，將其放進去，

但此時該葉子節點包含了「ABC」三個項目，須要將該節點進行分裂操做，分裂的具體過程以下，找到該節點三個項目中中間大的項，

上移成爲最小項和最大項的父節點，而最小項做爲中間項的左子節點，最大項做爲中間項的右子節點。

繼續插入「D」節點，從根節點開始尋找，

大於「B」，因此往右，

找到「C」節點，併合併到該葉子節點，該節點只有兩個項目，沒必要分裂。

繼續插入「E」，查找到「CD」葉子節點，放入「E」節點後發現該葉子節點有三個項目，須要分裂，

將中間項提高到父節點，其他兩項分裂成兩個子節點，「D」上升到父節點後存放在右邊，並且父節點只有兩個項目，沒必要再繼續分裂。

繼續插入「F」節點，

往下看連續分裂兩次的狀況，繼續插入「G」節點，大於「B」，繼續比較，

大於「D」，往右子節點，

到右子節點後與「F」比較，發現大於「F」，放到右邊，

發現「EFG」葉子節點有三個項目，必須分裂，

將中間項「F」提高到父節點，「E」和「G」左右兩項分別稱爲左右子節點，

提高到父節點後發現父節點包含了「BDF」三項，也須要分裂，因而準備將中間項「F」提高，

發現「BDF」節點原本屬於根節點，那麼分裂後就沒有根節點了，因而須要建立一個新節點做爲根節點，即提高的「D」節點做爲新的根節點。「B」和「F」左右兩項分別做爲左右子節點。

總結起來就是：一個節點插入到一棵2-3樹中，先尋找該節點應該落到哪一個葉子節點上，注意必定是在葉子節點。將新節點做爲一個新項加入到葉子節點中，此時若是該節點只有兩個項目，則完成插入操做。但若是該節點有三個項目，則須要進行分裂操做，左中右三項按大小排序，將中間項提高到父節點中，而左右兩項做爲左右子節點，而後可能還沒完，由於父節點上可能又包含了三個項目，若是是這樣還得作分裂操做，一直遞歸到父節點只包含一個或兩個項目。

查找

2-3樹的查找與二叉樹的查找相似，從根節點開始比較，若是相等則查找成功，不然往下繼續查找，對於只有兩個子節點的節點則在其左右子樹中遞歸查找，而對於有三個子節點的節點則須要在左中右子樹中遞歸查找。

以下2-3樹，查找「C」節點，

從根節點開始，與「D」比較，「C」小於「D」則往左，

繼續與「B」比較，「C」大於「B」則往右，

「C」與「C」相等，找到。

若是要查找「H」節點，從根節點開始，「H」大於「D」則往右，

在「FH」節點中逐個項比較，先跟「F」項比較，「H」大於「F」，繼續比較下一項，

「H」等於「H」，找到，在「FH」節點中找到「H」。

若是要查找「G」節點，從根節點開始，「G」大於「D」則往右，

「G」與「FH」節點逐個比較，大於「F」，繼續比較下一項，

「G」小於「H」，即「G」間於「F」和「H」之間，因而往中間，

「G」等於「G」，找到。

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