看圖輕鬆理解數據結構與算法系列(二叉搜索樹)

前言

推出一個新系列，《看圖輕鬆理解數據結構和算法》，主要使用圖片來描述常見的數據結構和算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各類堆、各類隊列、各類列表、各類樹、各類圖、各類排序等等幾十篇的樣子。

關於樹

對於樹的數據結構你們都瞭解，只是樹的類型有不少，因此可能又會對樹產生一種陌生感。樹其實就是由有限n(n>=1)個節點組成的一個具備層次關係的集合，它看起來像一棵倒掛的樹，因此稱之爲「樹」。

樹的特色

• 每一個節點有若干個或0個子節點；
• 根節點沒有父節點；
• 每個非根節點有且只有一個父節點；
• 每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；

二叉搜索樹

二叉搜索樹(Binary Search Tree，簡寫BST)，又稱爲二叉排序樹，屬於樹的一種，經過二叉樹將數據組織起來，樹的每一個節點都包含了健值 key、數據值 data、左子節點指針、右子節點指針。其中健值 key 是最核心的部分，它的值決定了樹的組織形狀；數據值 data 是該節點對應的數據，有些場景能夠忽略，舉個例子，key 爲身份證號而 data 爲人名，經過身份證號找人名；左子節點指針指向左子節點；右子節點指針指向右子節點。

二叉搜索樹特色

• 左右子樹也分別是二叉搜索樹。
• 左子樹的全部節點 key 值都小於它的根節點的 key 值。
• 右子樹的全部節點 key 值都大於他的根節點的 key 值。
• 二叉搜索樹能夠爲一棵空樹。
• 通常來講，樹中的每一個節點的 key 值都不相等，但根據須要也能夠將相同的 key 值插入樹中。

插入操做

1. 若是爲空樹則將插入節點做爲根節點。
2. 若是不爲空樹則從根節點開始，比較插入節點與根節點的 key 值，值相同則不作任何處理直接返回，大於則繼續比較右子節點R，小於則繼續比較左子節點L。
3. 右子節點R與插入節點比較，插入節點的 key 值大的話則繼續往R節點的右子節點比較，小於的話則繼續往R節點左子節點比較。
4. 以此類推不斷往下尋找，直到找到左子節點指針或右子節點指針爲空的節點，將插入節點放進去。

對於下面這棵樹，插入D和H，

建立D節點並與根節點比較，

D 小於 E，因而往左子節點繼續比較，

D 大於 C，應該往右子節點方向，而此時 C 節點的右子節點指針爲空，D 節點能夠放置進去。

一樣的，對於 H 節點，先建立 H 節點並與根節點比較，

H 大於 E，因而往右子節點繼續比較，

H 大於 G，應該往右子節點方向，而此時 G 節點的右子節點指針爲空，H 節點能夠放置進去。

插入順序性

二叉搜索樹的形狀與節點插入順序不一樣而可能不一樣，好比對於A B C D E F G H這些節點集，按E C A B D G F H順序插入則爲，

而若是調換前面兩個節點，按照C E A B D G F H順序插入則以下圖，形狀差異仍是挺大的，

極端狀況下，按照A B C D E F G H順序插入，則爲，

查詢操做

1. 則從根節點開始，比較查詢節點與根節點的 key 值，值相同則表示找到該節點，直接返回，大於則繼續往右子節點R查找，小於則繼續往左子節點L查找。
2. 右子節點R與查詢節點比較，查詢節點的 key 值大的話則繼續往R節點的右子節點查找，小於的話則繼續往R節點左子節點查找。
3. 以此類推不斷往下尋找，直到找到節點的 key 值與查詢節點的相同，則表示查找成功，若是最終找不到則說明不存在該節點。

對於下圖的樹查找 key 值爲「B」和「G」的節點，

「B」與根節點的 key 值比較，

「B」小於「E」，往左子節點繼續尋找，

「B」小於「C」，往左子節點繼續尋找，

「B」大於「A」，往右子節點繼續尋找，二者相等，找到。

繼續查詢 key 值爲「G」的節點，與根節點比較，

「G」大於「E」，往右子節點，二者相等，找到。

刪除操做

刪除操做分三種狀況進行，

• 若是刪除的節點爲葉子節點，即它的左子節點指針和右子節點指針都爲空時，則能夠直接刪掉該節點，並不會影響整棵樹的結構。
• 若是刪除的節點只有一個子節點(左子節點或右子節點)，則直接將子節點提高到被刪除的節點位置。
• 若是刪除的節點有兩個子節點，此時須要找到刪除節點的中序後繼或中序前驅來填補刪除節點，中序後繼其實就是全部大於刪除節點中最小的那個，而中序前驅就是全部小於刪除節點中最大的那個，由於二叉搜索樹通過中序遍歷後是一個遞增序列，因此後繼就是刪除節點的後面那個節點，大於且大得最少的那個，好比1 2 3 4 5中4就是3的後繼。前驅就是刪除節點前面那個節點，好比1 2 3 4 5中2就是3的前驅。

狀況一

刪除「B」葉子結點，從根節點開始查找，

找到，直接刪除，

狀況二

假如樹的結構以下圖，如今要刪除「C」節點，

從根節點開始找，

找到「C」節點，直接將原來指向「C」節點的右子節點指針指向「C」的子節點，

最終爲，

狀況三

要在以下的樹中刪除「E」節點，

「E」節點存在兩個子節點，因而開始尋找「E」節點的中序前驅來替換它，前驅在左子節點「C」下最大值的那個節點，

要找「C」節點下最大值節點則一直往右，

直到不能繼續往下，即「D」節點便是前驅，用「D」節點來替換「E」節點，

最終實現將「E」節點刪除。

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