看圖輕鬆理解數據結構與算法系列(AVL樹)

前言

推出一個新系列，《看圖輕鬆理解數據結構和算法》，主要使用圖片來描述常見的數據結構和算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各類堆、各類隊列、各類列表、各類樹、各類圖、各類排序等等幾十篇的樣子。

AVL樹

AVL樹，也稱平衡二叉搜索樹，AVL是其發明者姓名簡寫。AVL樹屬於樹的一種，並且它也是一棵二叉搜索樹，不一樣的是他經過必定機制能保證二叉搜索樹的平衡，平衡的二叉搜索樹的查詢效率更高。

AVL樹特色

• AVL樹是一棵二叉搜索樹。
• AVL樹的左右子節點也是AVL樹。
• AVL樹擁有二叉搜索樹的全部基本特色。
• 每一個節點的左右子節點的高度之差的絕對值最多爲1，即平衡因子爲範圍爲[-1,1]。

圖中紅色數字表示對應節點的高度，能夠看到同一層的節點高度差都沒有超過1。

二叉搜索樹的平衡

基礎的二叉搜索樹構建出來可能會存在不平衡的現象，好比極端狀況下，按照A B C D E F G H順序插入樹中，結果爲，

但實際上咱們更想要平衡一點的二叉搜索樹，由於平衡的二叉搜索樹能有效提升查詢效率，好比上面的要查詢「H」節點則須要比較8個節點才找到，而平衡的二叉搜索樹只須要比較3個節點。

因此AVL樹的出現就是爲了解決平衡性問題，它的核心內容就是平衡處理機制，即所謂的旋轉，一共有四種形式的旋轉：右單旋、左單旋、左右雙旋和右左雙旋。

爲何要旋轉

不論是什麼方式的旋轉，旋轉的目的是爲了下降樹的高度，使其平衡，假如樹結構以下圖，

將「A」節點添加到樹中，變成以下結構，樹產生了不平衡，因而檢查哪裏不平衡，當到「C」節點時發現高度差超過1，

因此須要對「C」節點進行右單旋操做將高度降到2，達到平衡。

插入方式

AVL樹一共有四種插入方式，根據插入方式不一樣須要作不一樣的旋轉操做，如今往下看四種插入方式，設受插入節點影響而失去平衡的節點的父節點爲Z，

• LL插入方式，插入的節點在Z節點的左子樹的左子樹上，以下圖，「A」節點插入影響「C」節點的平衡，「C」的父節點爲「E」，插入節點「A」在「E」節點的左子樹的左子樹上。即「B」節點的左右子節點都算LL插入。

• RR插入方式，插入的節點在Z節點的右子樹的右子樹上，以下圖，「I」節點插入影響「G」節點的平衡，「G」的父節點爲「E」，插入節點「I」在「E」節點的右子樹的右子樹上。即「H」節點的左右子節點都算RR插入。

• LR插入方式，插入的節點在Z節點的左子樹的右子樹上，以下圖，「C」節點插入影響「B」節點的平衡，「B」的父節點爲「E」，插入節點「C」在「E」節點的左子樹的右子樹上。即「D」節點的左右子節點都算LR插入。

• RL插入方式，插入的節點在Z節點的右子樹的左子樹上，以下圖，「G」節點插入影響「H」節點的平衡，「H」的父節點爲「E」，插入節點「G」在「E」節點的右子樹的左子樹上。即「F」節點的左右子節點都算RL插入。

右單旋

右單旋用於處理LL插入方式，假設存在一棵樹，以下，

現插入「A」節點，假如不進行旋轉的話，樹結構爲下圖，因此遍歷過程也會檢查哪裏不平衡，檢查到「C」節點和「G」節點的高度差大於1，並且插入節點「A」屬於「E」節點左子樹的左子樹，因而進行右單旋，

「C」節點右單旋即將「C」節點提升，本來它的父節點「E」則變爲其右子節點，「C」節點原來的右子節點則變爲其父節點「E」的左子節點。右單旋後的結果以下，從新達到了平衡。

左單旋

左單旋用於處理RR插入方式，假設存在一棵樹，以下，

現插入「I」節點，假如不進行旋轉的話，樹結構爲下圖，因此遍歷過程也會檢查哪裏不平衡，檢查到「C」節點和「G」節點的高度差大於1，並且插入節點「I」屬於「E」節點的右子樹的右子樹，因而進行左單旋，

「G」節點左單旋即將「G」節點提升，本來它的父節點「E」則變爲其左子節點，「G」節點原來的左子節點則變爲其父節點「E」的右子節點。左單旋後的結果以下，從新達到了平衡。

左右雙旋

左右雙旋用於處理LR插入方式，假設存在一棵樹，以下，

現插入「C」節點，假如不進行旋轉的話，樹結構爲下圖，遍歷過程會檢查哪裏不平衡，檢查到「B」節點和「G」節點的高度差大於1，並且插入節點「C」屬於「E」節點的左子樹的右子樹，因而進行左右雙旋，

先以「D」節點爲軸進行左單旋，結果爲，

再以「D」節點爲軸進行右單旋，獲得最終結果，

右左雙旋

右左雙旋用於處理RL插入方式，假設存在一棵樹，以下，

現插入「G」節點，假如不進行旋轉的話，樹結構爲下圖，遍歷過程會檢查哪裏不平衡，檢查到「C」節點和「H」節點的高度差大於1，並且插入節點「G」屬於「E」節點的右子樹的左子樹，因而進行右左雙旋，

先以「F」節點爲軸進行右單旋，結果爲，

再以「F」節點爲軸進行左單旋，獲得最終結果，

插入

空樹時插入節點「E」直接做爲根節點，「E」節點高度設爲1，

繼續插入「B」節點，小於「E」節點則添加到左邊，且「E」節點高度加1，

繼續插入「G」節點，大於「E」節點則添加到右邊，此時「E」節點高度不變，

繼續插入「D」節點，最終到「B」節點的右子節點，此時「B」節點高度加1，「E」節點高度也加1，

繼續插入「C」節點，最終到「D」節點的左子節點，此時「D」、「B」、「E」節點高度都分別加1，而且先發現節點「D」與它同級節點（不存在即高度爲0）高度差大於1，而且屬於RL插入方式，使用右左雙旋處理，

以「C」節點爲軸進行右單旋，結果爲，

再以「C」節點爲軸進行左單旋，結果以下，能夠看到進過右左雙旋操做後二叉樹已經達到平衡了。

總結，插入時可能會遇到四種不一樣的插入方式，分別是：LL插入方式、RR插入方式、LR和RL插入方式。根據不一樣的插入方式對應作旋轉操做即能使樹達到平衡狀態。

查找

AVL樹由於屬於二叉搜索樹，因此查找時與BST樹徹底同樣，好比下面這棵樹，查找「D」節點，

從根節點「C」開始，

「D」大於「C」，因此往右繼續查找，

「D」小於「E」，因此往左查找，找到。

刪除

刪除操做主要分兩種狀況，一種是刪除後不會影響平衡，那麼直接按照BST樹規則刪除。另一種是刪除後會影響樹的平衡，那麼則須要再作旋轉處理。

狀況一

如樹的結構，要刪除「B」節點，

直接找到「B」節點，且由於是葉子節點，直接刪掉便可。

最終爲，

但若是刪除的不是「B」節點，而是「C」節點，則不能直接刪除「C」節點，

應該先找到「C」節點的前驅，它的前驅爲「B」節點，使用「B」替換「C」節點，

最後將原來的「B」節點刪除。

狀況二

如樹的結構，要刪除「F」節點，

先找到「F」節點，

而後將「F」節點刪除，此時致使了「C」節點和「G」節點的高度差超過1，須要作旋轉操做，

並且由於C節點的左子節點高度比右子節點高度大，因此執行右單旋操做，旋轉後爲，

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