看圖輕鬆理解數據結構與算法系列(B樹)

前言

推出一個新系列，《看圖輕鬆理解數據結構和算法》，主要使用圖片來描述常見的數據結構和算法，輕鬆閱讀並理解掌握。本系列包括各類堆、各類隊列、各類列表、各類樹、各類圖、各類排序等等幾十篇的樣子。

B樹

B樹即平衡查找樹，通常理解爲平衡多路查找樹，也稱爲B-樹、B_樹。是一種自平衡樹狀數據結構，能對存儲的數據進行O(log n)的時間複雜度進行查找、插入和刪除。B樹通常較多用在存儲系統上，好比數據庫或文件系統。

B樹特色

• B樹能夠定義一個m值做爲預約範圍，即m路(階)B樹。
• 每一個節點最多有m個孩子。
• 每一個節點至少有ceil(m/2)個孩子，除了根節點和葉子節點外。
• 對於根節點，子樹個數範圍爲[2,m]，節點內值的個數範圍爲[1,m-1]。
• 對於非根節點，節點內的值個數範圍爲[ceil(m/2)-1,m-1]。
• 根節點(非葉子節點)至少有兩個孩子。
• 一個有k個孩子的非葉子節點包含k-1個值。
• 全部葉子節點在同一層。
• 節點內的值按照從小到大排列。
• 父節點的若干值做爲分離值分紅多個子樹，左子樹小於對應分離值，對應分離值小於右子樹。

如下是一個四階B樹，

插入

假設如今構建一棵四階B樹，開始插入「A」，直接做爲根節點，

插入「B」，大於「A」，放右邊，

插入「C」，按順序排到最後，

繼續插入「D」，直接添加的結果以下圖，此時超過了節點能夠存放容量，對於四階B樹每一個節點最多存放3個值，此時須要執行分裂操做，

分裂操做爲，先選取待分裂節點的中值，這裏爲「B」，而後將中值「B」放到父節點中，由於這裏尚未父節點，那麼直接建立一個新的父節點存放「B」，而原來小於「B」的那些值做爲左子樹，原來大於「B」的那些值做爲右子樹。

繼續插入「E」，"E"大於「B」，往右子節點，

分別於「C」和「D」比較，大於它們，放到最右邊，

插入「F」，「F」大於「B」，往右子樹，

「F」分別與「C」"D""E"比較，大於它們，放到最右邊，此時觸發分裂操做，

選取待分裂節點的中值「D」，而後將中值「D」放到父節點中，父節點中的「B」小於「D」，因而放到「B」右邊，而原來小於「D」的那些值做爲左子樹，原來大於「D」的那些值做爲右子樹。

繼續插入「M」，結果爲，

插入「L’，大於「B」「D」，往右子樹，

「L」大於「E」「F」小於「M」，因而放到第三個位置，此時觸發分裂操做，

選取待分裂節點的中值「F」，而後將中值「F」放到父節點中，父節點中的「B」「D」都小於「F」，因而放到最右邊，而原來小於「F」的那些值做爲左子樹，原來大於「F」的那些值做爲右子樹。

插入「K」，結果爲，

插入「J」，大於「B」「D」「F」，往右子樹，

「J」小於「K」「L」「M」，因而放到第一個位置，此時觸發分裂操做，

選取待分裂節點的中值「K」，而後將中值「K」放到父節點中，父節點中的「B」「D」「F」都小於「K」，因而放到最右邊，而原來小於「K」的那些值做爲左子樹，原來大於「K」的那些值做爲右子樹。此時父節點也觸發分裂操做，

選取待分裂節點的中值「D」，而後將中值「D」放到父節點中，因爲尚未父節點，那麼直接建立一個新的父節點存放「D」，而原來小於「D」的那些值做爲左子樹，原來大於「D」的那些值做爲右子樹。

插入「I」，大於「D」，往右子樹，

右子樹不是葉子節點，繼續往下，這時「I」大於「F」而小於「K」，因此往第二個分支，

「I」小於「J」，因而放到左邊，

相似地，插入「H」，結果以下，

插入「G」，往左子樹，

往中間分支，

觸發分裂操做，

選取待分裂節點的中值「H」，而後將中值「H」放到父節點中，"H"大於父節點中的「F」而小於「K」，因而放到中間，而原來小於「H」的那些值做爲左子樹，原來大於「H」的那些值做爲右子樹。

綜上所述，插入操做的核心是分裂操做。無需分裂的狀況比較簡單，直接插入便可；若是插入後超過節點容量，這個容量可預先自定義，則須要進行分裂操做，須要注意的是分裂可能引發父節點須要繼續分裂。

查找

對B樹進行查找就比較簡單，查找過程有點相似二叉搜索樹，從根節點開始查找，根據比較數值找到對應的分支，繼續往子樹上查找。

好比查找「I」，"I"大於「D」，往右子樹，

「I」分別與節點內值比較，大於「F」「H」而小於「K」，往第三個分支，

逐一比較節點內的值，找到「I」。

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