[搜索算法系列] —— 深度優先搜索

搜索本質上也是對解空間的枚舉，本文介紹搜索算法中的深度優先搜索（圖論）。

全排列問題

給定一個 沒有重複數字的序列，返回其全部可能的全排列。例如對於數列[1, 2, 3]其全排列爲[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]。

咱們可使用n層循環，每一層循環內肯定一位數字，在最內層循環內判斷該排列是否符合要求，例如對於數列nums = [1, 2, 3]，能夠寫出以下代碼。

for i in nums:
    for j in nums:
        for k in nums:
            if i != j and j != k and i != k:
                print i, j, k

這道題目分析到這裏，其實和個人第一篇文章的問題頗有很大類似的地方，但不一樣的是在於百雞百錢問題的自變量個數是固定的，即循環層數是固定的。

上述代碼中咱們試圖經過每一層循環來肯定一個數值，但這段代碼只適用於len(nums) == 3的狀況，可是若是nums長度爲4，5，或更高呢？咱們沒法動態生成n層循環，除非是用程序編寫程序，遞歸爲咱們巧妙地解決了這個問題。

在遞歸中，咱們則經過每一層函數的嵌套來肯定一個數值，而且咱們只需給出頂層的實現就夠了。

因而咱們得出了下面的代碼（涉及python中list與set的使用）。

def solution(nums, status):
    if set(nums) == set(status):
        print status
    for x in nums:
        solution(nums, status+[x])

上述代碼中，status表示當前函數層次的狀態，即一個排列結果，該遞歸函數能夠理解爲一個數學表達式：solution = for + solution，那麼該solution函數就會被展開爲下面的樣子。

for ... in range(...):
    for ... in range(...):
        ...
        if ... : print ... # 只有在第n層，條件纔會成立

這就和咱們最開始給出的代碼看上去差很少了。可是如今代碼雖然是有限的，可實際展開的時候依舊是無窮無盡的，這就須要咱們爲solution函數加上一個終止條件，也稱遞歸出口。

若是把遞歸的過程想象成包子餡的包子，那麼若是沒有遞歸出口，這個包子將會變成饅頭。

那麼遞歸出口咱們如何去定義呢？

經過題意不難推出當對於當前層，若當前排列結果status長度大於nums數列長度，便可終止遞歸。

因而可得出正確代碼以下。

def solution(nums, status):
    if len(status) > len(nums):
        return
    if set(nums) == set(status):
        print status
    for x in nums:
        solution(nums, status+[x])

solution([1,2,3], [])
# [[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

這段代碼雖然能夠正確運行，但咱們可讓他更加美觀。最終代碼以下。

這一次，咱們將遞歸出口定義在進入遞歸函數前，而且將中間狀態記錄在了ans數組中。

def solution(nums, status, ans):
    if len(nums) == len(status):
        ans.append(status)
    for x in nums:
        if x not in status:
            solution(nums, status+[x], ans)
    return ans

print solution([1,2,3], [], [])
# [[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

若是在solution的開始輸出status的值，咱們會獲得以下的輸出結果。

[1]
    [1, 2]
        [1, 2, 3]
    [1, 3]
        [1, 3, 2]
[2]
    [2, 1]
        [2, 1, 3]
    [2, 3]
        [2, 3, 1]
[3]
    [3, 1]
        [3, 1, 2]
    [3, 2]
        [3, 2, 1]

觀察程序的輸出與下面的圖片，體會該迭代方法被稱做深度優先搜索的緣由。

本文示例題目與leecode 46.全排列一致，讀者可自行嘗試提交，驗證本身代碼的正確性。