【算法】三、堆排序

時間 2019-12-01

標籤算法排序简体版

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堆排序是一種選擇排序，其時間複雜度爲O(nlogn)。html

堆的定義java

　　n個元素的序列{k₁，k₂，…,k_n}當且僅當知足下列關係之一時，稱之爲堆。windows

　　情形1：k_i<= k_2i且k_i<= k_2i+1（最小化堆或小頂堆）數組

　　情形2：k_i>= k_2i且k_i>= k_2i+1 （最大化堆或大頂堆）數據結構

　　其中i=1,2,…,n/2向下取整;測試

　　若將和此序列對應的一維數組（即以一維數組做此序列的存儲結構）當作是一個徹底二叉樹，則堆的含義代表，徹底二叉樹中全部非終端結點的值均不大於（或不小於）其左、右孩子結點的值。spa

　　由此，若序列{k₁，k₂，…,k_n}是堆，則堆頂元素（或徹底二叉樹的根）必爲序列中n個元素的最小值（或最大值）。.net

　　例如，下列兩個序列爲堆，對應的徹底二叉樹如圖：code

　　若在輸出堆頂的最小值以後，使得剩餘n-1個元素的序列重又建成一個堆，則獲得n個元素的次小值。如此反覆執行，便能獲得一個有序序列，這個過程稱之爲堆排序。htm

　　堆排序（Heap Sort）只須要一個記錄元素大小的輔助空間（供交換用），每一個待排序的記錄僅佔有一個存儲空間。

堆的存儲

　　通常用數組來表示堆，若根結點存在序號0處， i結點的父結點下標就爲(i-1)/2。i結點的左右子結點下標分別爲2*i+1和2*i+2。

　　（注：若是根結點是從1開始，則左右孩子結點分別是2i和2i+1。）

　　如第0個結點左右子結點下標分別爲1和2。

　　如最大化堆以下：

　　左圖爲其存儲結構，右圖爲其邏輯結構。

堆排序的實現

　　實現堆排序須要解決兩個問題：

　　　　1.如何由一個無序序列建成一個堆？

　　　　2.如何在輸出堆頂元素以後，調整剩餘元素成爲一個新的堆？

　　先考慮第二個問題，通常在輸出堆頂元素以後，視爲將這個元素排除，而後用表中最後一個元素填補它的位置，自上向下進行調整：首先將堆頂元素和它的左右子樹的根結點進行比較，把最小的元素交換到堆頂；而後順着被破壞的路徑一路調整下去，直至葉子結點，就獲得新的堆。

　　咱們稱這個自堆頂至葉子的調整過程爲「篩選」。

　　從無序序列創建堆的過程就是一個反覆「篩選」的過程。

構造初始堆

　　初始化堆的時候是對全部的非葉子結點進行篩選。

　　最後一個非終端元素的下標是[n/2]向下取整，因此篩選只須要從第[n/2]向下取整個元素開始，從後往前進行調整。

　　好比，給定一個數組，首先根據該數組元素構造一個徹底二叉樹。

　　而後從最後一個非葉子結點開始，每次都是從父結點、左孩子、右孩子中進行比較交換，交換可能會引發孩子結點不知足堆的性質，因此每次交換以後須要從新對被交換的孩子結點進行調整。

進行堆排序

　　有了初始堆以後就能夠進行排序了。

　　堆排序是一種選擇排序。創建的初始堆爲初始的無序區。

　　排序開始，首先輸出堆頂元素（由於它是最值），將堆頂元素和最後一個元素交換，這樣，第n個位置（即最後一個位置）做爲有序區，前n-1個位置還是無序區，對無序區進行調整，獲得堆以後，再交換堆頂和最後一個元素，這樣有序區長度變爲2。。。

　　不斷進行此操做，將剩下的元素從新調整爲堆，而後輸出堆頂元素到有序區。每次交換都致使無序區-1，有序區+1。不斷重複此過程直到有序區長度增加爲n-1，排序完成。

堆排序實例

　　首先，創建初始的堆結構如圖：

　　而後，交換堆頂的元素和最後一個元素，此時最後一個位置做爲有序區（有序區顯示爲黃色），而後進行其餘無序區的堆調整，從新獲得大頂堆後，交換堆頂和倒數第二個元素的位置……

　　重複此過程：

　　最後，有序區擴展完成即排序完成：

　　由排序過程可見，若想獲得升序，則創建大頂堆，若想獲得降序，則創建小頂堆。

代碼

　　假設排列的元素爲整型，且元素的關鍵字爲其自己。

　　由於要進行升序排列，因此用大頂堆。

　　根結點從0開始，因此i結點的左右孩子結點的下標爲2i+1和2i+2。

void HeapAdjust(int H[], int start, int end) {

        int temp = H[start];
        for (int i = 2 * start + 1; i <= end; i = 2 * i + 1) {
            //由於假設根結點的序號爲0而不是1，因此i結點左孩子和右孩子分別爲2i+1和2i+2
            if (i < end && H[i] < H[i + 1])//左右孩子的比較
            {
                i++;//i爲較大的記錄的下標
            }

            if (temp > H[i])//左右孩子中獲勝者與父親的比較
            {
                break;
            }

            //將孩子結點上位，則以孩子結點的位置進行下一輪的篩選
            H[start] = H[i];
            start = i;

        }
        H[start] = temp; //插入最開始不和諧的元素
    }

    void HeapSort(int A[], int n) {
        //先創建大頂堆
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            HeapAdjust(A, i, n - 1);
        }
        //進行排序
        for (int i = n; i > 0; i--) {
            //最後一個元素和第一元素進行交換
            int temp = A[i];
            A[i] = A[0];
            A[0] = temp;

            //而後將剩下的無序元素繼續調整爲大頂堆
            HeapAdjust(A, 0, i - 1);
        }
    }