常係數齊次線性遞推

常係數齊次線性遞推

給定遞推式\(f_n =a_1f_{n-1} + a_2 f_{n-2}...+a_k f_{n-k}\)。

給定\(f_0,f_1...f_k\)，求\(f_n\)。

先定義\(f_n\)的特徵方程：\(C(x) = x^{k} - a_1 x^{k-1} - a_2 x^{k-2}...-a_{k-1}x - a_k\)。

求齊次線性遞推通項式

由基本代數定理，\(C(x) = 0\) 的解(稱爲特徵根)有\(K\)個，設爲\(\alpha_1\)、\(\alpha_2...\alpha_K\)。

有\(f_n\)的母函數\(G(x) = \frac{P(x)}{(1-\alpha_1 x)(1-\alpha_2 x)...(1-\alpha_K x)}\)。

對於非重根\(\alpha\)，它在通項公式\(T_n\)中的貢獻形如\(A \alpha^n\)，其中\(A\)爲待定係數。

對於重根\(\beta\)，設其爲\(r\)重根，它在通項公式中的貢獻形如\((\sum_{i=1}^r h_i n^{r-i} )\beta^n\)。

根據上述把通項式\(T_n\)列出來，利用前\(K\)項待定係數便可獲得通項公式。

求齊次線性遞推式

定義向量\(A_i = (f_i,f_{i+1},f_{i+2}...f_{i+k-1})\)，定義轉移矩陣\(M\)。

初始咱們知道\(A_0 = (f_0,f_1,f_2...f_{k-1})\)，如今要求\(f_n\)，即求\(A_n = (f_n,f_{n+1}...f_{n+k-1})\)。

能夠矩陣快速冪\(A_0*M^{n}\)，複雜度\(O(k^3logn)\)。

將轉移矩陣\(M\)帶入特徵多項式有：\(F(M) = M^k - \sum_{i=1}^k a_i M^{k-i}\)。

根據某定理，咱們有\(F(M) = 0\)，因此咱們能夠對\(M^n\)化簡，即\(M^n \equiv G(M)\ (mod\ F(M))\)。

即咱們求出\(G(M)\)，那麼\(A_0G(M)\)與\(A_0M^n\)等價。

\(A_n = A_0G(M) = A_0\sum_{i=0}^{k-1} g_i M^i\)，其中\(g_i\)即咱們多項式取模後第\(i\)項的係數。

而後\(A_n = \sum_{i=0}^{k-1} g_i A_0M^i\)。咱們只須要求\(f_n\)，即只須要知道向量\(A\)的第一項。

因此\(A = A_0M^i\)的第一項是什麼？不就是\(f_i\)嗎！而\(f_i,i\in [0,k-1]\)咱們事先知道。

因此\(f_n = \sum_{i=0}^{k-1} g_i f_i\)。

實現上，關鍵在於求\(G(x)\)，顯然\(M^n\)咱們不能一開始就把它存成一個多項式，因此須要倍增。

倍增的同時須要多項式乘法與多項式取模，

暴力作的話總複雜度爲\(O(k^2logn)\)，使用多項式運算複雜度爲\(O(klogklogn)\)。