「常係數齊次線性遞推」——矩陣快速冪的優化

　　

引入：

　　對於遞推方程：

　　$$F(x) = \sum_{i=1}^k a_iF(x-i)$$

　　咱們顯然會獲得一個關於$F$的多項式求逆或者矩陣遞推式，大多數狀況下咱們都是用後者，可是當$k$很大的時候，$k^3log n$的時間複雜度咱們是吃不消的，那麼天然咱們的前人就搞出了一些優化。

特徵多項式及Cayley-Hamilton定理：

1、特徵多項式的定義：

　　設$A$是$n$階矩陣，若數$\lambda$和非零列向量$x$使關係式$$Ax=\lambda x\;\;\;\;\;(1)$$

成立，那麼，這樣的數$\lambda$稱爲矩陣$A$的特徵值，非零向量$x$稱爲$A$的對應於$\lambda$的特徵向量。

　　（1）式也可寫成$$(A-\lambda E)x=0$$

此式有非零解（即存在$x$）的充分必要條件是其行列式$$|A-\lambda E|=0\;\;\;\;\;\;(2)$$

　　（1）式能夠看做以$\lambda$爲未知數的一元$n$次方程，稱爲$A$的特徵方程，（2）式是關於$\lambda$的$n$次多項式$\phi(\lambda)$，稱爲$A$的特徵多項式。

2、矩陣的多項式：

　　（矩陣的多項式不等於矩陣多項式，讀者若想了解請自行百度）

　　即對於$m$次多項式$f(x)$，將矩陣$A$看做未知數，此時$$f(A)=a_0E+a_1A+\dots +a_mA^m$$，記$f(A)$爲$A$的$m$次多項式。其運算知足交換律，即$$f(A)g(A)=g(A)f(A)$$

3、Cayley-Hamilton定理：

　　對於$A$的特徵多項式$\phi(\lambda)$，有$$\phi(A)=0$$

因爲筆者能力所限，其證實請讀者自行百度。

　　P.S：以爲吧……其實考慮到$\phi(A)=|A-AE|=|0|=0$，感受這個也是很顯然的吧……

$n$階常係數齊次線性遞推矩陣的特徵多項式求法：

1、結論（懶人專用）

　　$$\phi(\lambda)=(-1)^n(\lambda^n-\sum_{i=1}^n a_i\lambda^{n-i})$$

　　其中$a$爲遞推方程中給出的遞推係數。

2、證實

　　

 

　　那麼咱們考慮此時行列式如何去求（$a_{i,j}$表示以上行列式的第$i$行第$j$列的元素）：

　　先考慮這樣一件事實：

　　若咱們在前i列的選擇元素的最大行數也爲i，那麼接下來的列只能選擇對角線上元素，不然其最大行數必定爲i+1，此時下一列即i+1列咱們能夠選擇第一行或者第i+2行的元素

該事實讀者能夠自行證實。　　　　

　　假設咱們選了$a_{1,1}$，由以上事實，咱們只能選擇對角線元素，那麼此時結果爲$$(-1)^n\lambda^n$$。

　　不然選取$a_{2,1}$由以上事實，咱們會獲得一個$dfs$，直到在第$i$列時選取了$a_{1,i}$，此時獲得結果爲$$a_{1,i}*(-\lambda)^{n-i}*(-1)^{i-1}=a_{1,i}*(-1)^{n-1}\lambda^{n-i}$$

綜上所述：

　　$$\phi(\lambda)=(-1)^n(\lambda^n-\sum_{i=1}^{n}a_i\lambda^{n-i})$$

常係數齊次線性遞推：

1、多項式引入：

　　咱們設$$x^{n}=f(x)g(x)+h(x)$$

其中$g(x)$爲已知多項式，那麼咱們就能夠經過多項式除法以及多項式取模來獲得$f(x)$以及$h(x)$。

2、帶入矩陣：

　　咱們將$k$階$A$視爲未知量，則有$$A^n=f(A)g(A)+h(A)$$

咱們考慮若$g(A)=\phi(A)=0$那麼，此時有$$A^n=h(A)=\sum_{i=0}^{k-1} h_i A^i\;\;\;\;\;\;（3）$$

3、如何計算：

　　考慮$A^n$咱們已經表示出來了，可是，咱們發現此時算法複雜非但沒有減小，反而增長爲$k^4$。

　　咱們設$k*1$矩陣$$B_i^T=\{F(i+k-1),F(i+k-2),\dots ,F(i)\}$$

　　咱們給式（3）等式兩邊同時乘上$B_1$，即$$A^nB_1=h(A)B_1$$

　　化簡獲得$$B_{1+n}=\sum_{i=0}^{k-1}h_i B_{1+i}$$

　　$$B_{1+n}^T=\{B_{n+k},\dots\,B_{n+1}\}=\{\sum_{i=0}^{k-1}h_iF(i+k),\dots ,\sum_{i=0}^{k-1}h_iF(i+1)\}$$

4、時間複雜度

　　若只是計算$F$的某一項，那麼時間複雜度上界在於如何去求$F$的前$2k$項和以及$h$。

　　顯然$h$由多項式取模方法時間複雜度爲$k^2logn$或$klogklogn$。

　　而$F$能夠$klogk$或者$k^2$處理。