《轉》Logistic迴歸多分類問題的推廣算法--Softmax迴歸

時間 2019-11-06

標籤 logistic 迴歸分類問題推廣算法 softmax 欄目應用數學简体版

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轉自 http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92php

簡介

在本節中，咱們介紹Softmax迴歸模型，該模型是logistic迴歸模型在多分類問題上的推廣，在多分類問題中，類標籤 $\textstyle y$ 能夠取兩個以上的值。 Softmax迴歸模型對於諸如MNIST手寫數字分類等問題是頗有用的，該問題的目的是辨識10個不一樣的單個數字。Softmax迴歸是有監督的，不事後面也會介紹它與深度學習/無監督學習方法的結合。（譯者注： MNIST 是一個手寫數字識別庫，由NYU 的Yann LeCun 等人維護。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）html

回想一下在 logistic 迴歸中，咱們的訓練集由 $\textstyle m$ 個已標記的樣本構成： $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，其中輸入特徵 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ 。（咱們對符號的約定以下：特徵向量 $\textstyle x$ 的維度爲 $\textstyle n+1$ ，其中 $\textstyle x_0 = 1$ 對應截距項。）因爲 logistic 迴歸是針對二分類問題的，所以類標記 $y^{(i)} \in \{0,1\}$ 。假設函數(hypothesis function) 以下：算法

$\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}$

咱們將訓練模型參數 $\textstyle \theta$ ，使其可以最小化代價函數：函數

$\begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align}$

在 softmax迴歸中，咱們解決的是多分類問題（相對於 logistic 迴歸解決的二分類問題），類標 $\textstyle y$ 能夠取 $\textstyle k$ 個不一樣的值（而不是 2 個）。所以，對於訓練集 $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，咱們有 $y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}$ 。（注意此處的類別下標從 1 開始，而不是 0）。例如，在 MNIST 數字識別任務中，咱們有 $\textstyle k=10$ 個不一樣的類別。學習

對於給定的測試輸入 $\textstyle x$ ，咱們想用假設函數針對每個類別j估算出機率值 $\textstyle p(y=j | x)$ 。也就是說，咱們想估計 $\textstyle x$ 的每一種分類結果出現的機率。所以，咱們的假設函數將要輸出一個 $\textstyle k$ 維的向量（向量元素的和爲1）來表示這 $\textstyle k$ 個估計的機率值。具體地說，咱們的假設函數 $\textstyle h_{\theta}(x)$ 形式以下：測試

$\begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

其中 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的參數。請注意 $\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }$ 這一項對機率分佈進行歸一化，使得全部機率之和爲 1 。優化

爲了方便起見，咱們一樣使用符號 $\textstyle \theta$ 來表示所有的模型參數。在實現Softmax迴歸時，將 $\textstyle \theta$ 用一個 $\textstyle k \times(n+1)$ 的矩陣來表示會很方便，該矩陣是將 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行羅列起來獲得的，以下所示： spa

$\theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix}$

代價函數

如今咱們來介紹 softmax 迴歸算法的代價函數。在下面的公式中， $\textstyle 1\{\cdot\}$ 是示性函數，其取值規則爲：3d

$\textstyle 1\{$ 值爲真的表達式 $\textstyle \}=1$ ， $\textstyle 1\{$ 值爲假的表達式 $\textstyle \}=0$ 。舉例來講，表達式 $\textstyle 1\{2+2=4\}$ 的值爲1 ， $\textstyle 1\{1+1=5\}$ 的值爲 0。咱們的代價函數爲：htm

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}$

值得注意的是，上述公式是logistic迴歸代價函數的推廣。logistic迴歸代價函數能夠改成：

$\begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}$

能夠看到，Softmax代價函數與logistic 代價函數在形式上很是相似，只是在Softmax損失函數中對類標記的 $\textstyle k$ 個可能值進行了累加。注意在Softmax迴歸中將 $\textstyle x$ 分類爲類別 $\textstyle j$ 的機率爲：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }$ .

對於 $\textstyle J(\theta)$ 的最小化問題，目前尚未閉式解法。所以，咱們使用迭代的優化算法（例如梯度降低法，或 L-BFGS）。通過求導，咱們獲得梯度公式以下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}$

讓咱們來回顧一下符號 " $\textstyle \nabla_{\theta_j}$ " 的含義。 $\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 自己是一個向量，它的第 $\textstyle l$ 個元素 $\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$ 是 $\textstyle J(\theta)$ 對 $\textstyle \theta_j$ 的第 $\textstyle l$ 個份量的偏導數。

有了上面的偏導數公式之後，咱們就能夠將它代入到梯度降低法等算法中，來最小化 $\textstyle J(\theta)$ 。例如，在梯度降低法的標準實現中，每一次迭代須要進行以下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ ( $\textstyle j=1,\ldots,k$ ）。

當實現 softmax 迴歸算法時，咱們一般會使用上述代價函數的一個改進版本。具體來講，就是和權重衰減(weight decay)一塊兒使用。咱們接下來介紹使用它的動機和細節。

Softmax迴歸模型參數化的特色

Softmax 迴歸有一個不尋常的特色：它有一個「冗餘」的參數集。爲了便於闡述這一特色，假設咱們從參數向量 $\textstyle \theta_j$ 中減去了向量 $\textstyle \psi$ ，這時，每個 $\textstyle \theta_j$ 都變成了 $\textstyle \theta_j - \psi$ ( $\textstyle j=1, \ldots, k$ )。此時假設函數變成了如下的式子：

$\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}$

換句話說，從 $\textstyle \theta_j$ 中減去 $\textstyle \psi$ 徹底不影響假設函數的預測結果！這代表前面的 softmax 迴歸模型中存在冗餘的參數。更正式一點來講， Softmax 模型被過分參數化了。對於任意一個用於擬合數據的假設函數，能夠求出多組參數值，這些參數獲得的是徹底相同的假設函數 $\textstyle h_\theta$ 。

進一步而言，若是參數 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代價函數 $\textstyle J(\theta)$ 的極小值點，那麼 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi)$ 一樣也是它的極小值點，其中 $\textstyle \psi$ 能夠爲任意向量。所以使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是惟一的。（有趣的是，因爲 $\textstyle J(\theta)$ 仍然是一個凸函數，所以梯度降低時不會遇到局部最優解的問題。可是 Hessian 矩陣是奇異的/不可逆的，這會直接致使採用牛頓法優化就遇到數值計算的問題）

注意，當 $\textstyle \psi = \theta_1$ 時，咱們老是能夠將 $\textstyle \theta_1$ 替換爲 $\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$ （即替換爲全零向量），而且這種變換不會影響假設函數。所以咱們能夠去掉參數向量 $\textstyle \theta_1$ （或者其餘 $\textstyle \theta_j$ 中的任意一個）而不影響假設函數的表達能力。實際上，與其優化所有的 $\textstyle k\times(n+1)$ 個參數 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}$ ），咱們能夠令 $\textstyle \theta_1 = \vec{0}$ ，只優化剩餘的 $\textstyle (k-1)\times(n+1)$ 個參數，這樣算法依然可以正常工做。

在實際應用中，爲了使算法實現更簡單清楚，每每保留全部參數 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$ ，而不任意地將某一參數設置爲 0。但此時咱們須要對代價函數作一個改動：加入權重衰減。權重衰減能夠解決 softmax 迴歸的參數冗餘所帶來的數值問題。

權重衰減

咱們經過添加一個權重衰減項 $\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 來修改代價函數，這個衰減項會懲罰過大的參數值，如今咱們的代價函數變爲：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}$

有了這個權重衰減項之後 ( $\textstyle \lambda > 0$ )，代價函數就變成了嚴格的凸函數，這樣就能夠保證獲得惟一的解了。此時的 Hessian矩陣變爲可逆矩陣，而且由於 $\textstyle J(\theta)$ 是凸函數，梯度降低法和 L-BFGS 等算法能夠保證收斂到全局最優解。

爲了使用優化算法，咱們須要求得這個新函數 $\textstyle J(\theta)$ 的導數，以下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align}$

經過最小化 $\textstyle J(\theta)$ ，咱們就能實現一個可用的 softmax 迴歸模型。

Softmax迴歸與Logistic 迴歸的關係

當類別數 $\textstyle k = 2$ 時，softmax 迴歸退化爲 logistic 迴歸。這代表 softmax 迴歸是 logistic 迴歸的通常形式。具體地說，當 $\textstyle k = 2$ 時，softmax 迴歸的假設函數爲：

$\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}$

利用softmax迴歸參數冗餘的特色，咱們令 $\textstyle \psi = \theta_1$ ，而且從兩個參數向量中都減去向量 $\textstyle \theta_1$ ，獲得:

$\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

所以，用 $\textstyle \theta'$ 來表示 $\textstyle \theta_2-\theta_1$ ，咱們就會發現 softmax 迴歸器預測其中一個類別的機率爲 $\textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，另外一個類別機率的爲 $\textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，這與 logistic迴歸是一致的。

Softmax 迴歸 vs. k 個二元分類器

若是你在開發一個音樂分類的應用，須要對k種類型的音樂進行識別，那麼是選擇使用 softmax 分類器呢，仍是使用 logistic 迴歸算法創建 k 個獨立的二元分類器呢？

這一選擇取決於你的類別之間是否互斥，例如，若是你有四個類別的音樂，分別爲：古典音樂、鄉村音樂、搖滾樂和爵士樂，那麼你能夠假設每一個訓練樣本只會被打上一個標籤（即：一首歌只能屬於這四種音樂類型的其中一種），此時你應該使用類別數 $k = 4 的softmax迴歸。（若是在你的數據集中，有的歌曲不屬於以上四類的其中任何一類，那麼你能夠添加一個「其餘類」，並將類別數 k 設爲5。）$

若是你的四個類別以下：人聲音樂、舞曲、影視原聲、流行歌曲，那麼這些類別之間並非互斥的。例如：一首歌曲能夠來源於影視原聲，同時也包含人聲。這種狀況下，使用4個二分類的 logistic 迴歸分類器更爲合適。這樣，對於每一個新的音樂做品，咱們的算法能夠分別判斷它是否屬於各個類別。

如今咱們來看一個計算視覺領域的例子，你的任務是將圖像分到三個不一樣類別中。(i) 假設這三個類別分別是：室內場景、戶外城區場景、戶外荒野場景。你會使用sofmax迴歸仍是 3個logistic 迴歸分類器呢？ (ii) 如今假設這三個類別分別是室內場景、黑白圖片、包含人物的圖片，你又會選擇 softmax 迴歸仍是多個 logistic 迴歸分類器呢？

在第一個例子中，三個類別是互斥的，所以更適於選擇softmax迴歸分類器。而在第二個例子中，創建三個獨立的 logistic迴歸分類器更加合適。