《算法導論》筆記 第12章 總結與思考

【思考】

12-1 具備相同關鍵字的二叉查找樹

a) 當用TREE-INSERT將n個具備相同關鍵字的數據項插入到一棵初始爲空的二叉查找樹中時，該算法的漸進性能如何？

差很少O(n^2)

b) 在結點x處設一個布爾標誌b[x]，並根據b[x]的不一樣值，置x爲left[x]或right[x]。每當插入一個與x具備相同關鍵字的結點時，b[x]取反！

O(nlogn)

c) 在結點x處設置一個列表，其中全部結點都具備與x相同的關鍵字，並將z插入到該列表中。

O(n^2)

d) 隨機地將x置爲left[x]或right[x]。

最壞O(n^2)，平均O(nlogn)。

12-2 基數樹

基數樹，或稱Patricia trie/tree，或 crit bit tree，是一種基於trie（字典樹）的特殊的數據結構。通常用來儲存字符串集。

將01串按性質插入基數數中，對樹進行遍歷，獲得的串即爲按字典序排列的。

12-3 隨機構造的二叉查找樹中的平均節點深度

證實在一棵隨機構造的二叉查找樹中，n個節點的平均深度爲O(lgn)。

12-4 不一樣的二叉樹數目

設bn表示包含n個結點的不一樣的二叉樹的數目。在本問題裏，要給出關於bn的公式和一個漸進估計。

a) 證實：b0=1，且對n>=1，有：

當n==1時，b1=b0*b0=1。包含1個結點的不一樣二叉樹的數目爲1。

假設當n==i-1時，成立。

當n==i時，除去根節點，共有i-1個結點要分配到左右兩個子樹中，假設左子樹擁有結點k，則右子樹擁有結點i-1-k個，則有方案bk*b(i-1-k)種。

所以bi=∑bk*b(i-1-k)，假設成立。

所以bn=∑bk*b(n-1-k)。

b) 設B(x)爲生成函數

證實B(x)=xB(x)^2+1，於是表達式B(x)的一種方式是

在點x=a處f(x)的泰勒展式爲

其中f(k)(x)是在點x處f的k階導數。

c) 經過在x=0處使用sqrt(1-4x)的泰勒展式，證實

d) 證實：