SGM

   semi-global matching（縮寫SGM）是一種用於計算雙目視覺中disparity的半全局匹配算法。在OpenCV中的實現爲semi-global block matching（SGBM）。

SGBM的思路是：

經過選取每一個像素點的disparity，組成一個disparity map，設置一個和disparity map相關的全局能量函數，使這個能量函數最小化，以達到求解每一個像素最優disparity的目的。

 

能量函數形式以下：

D指disparity map。E(D)是該disparity map對應的能量函數。

p, q表明圖像中的某個像素

Np 指像素p的相鄰像素點（通常認爲8連通）

C(p, Dp)指當前像素點disparity爲Dp時，該像素點的cost

P1 是一個懲罰係數，它適用於像素p相鄰像素中dsparity值與p的dsparity值相差1的那些像素。

P2 是一個懲罰係數，它適用於像素p相鄰像素中dsparity值與p的dsparity值相差大於1的那些像素。

I[.]函數返回1若是函數中的參數爲真，不然返回0

 

利用上述函數在一個二維圖像中尋找最優解是一個NP-complete問題，耗時過於巨大，所以該問題被近似分解爲多個一維問題，即線性問題。並且每一個一維問題均可以用動態規劃來解決。由於1個像素有8個相鄰像素，所以通常分解爲8個一維問題。

考慮從左到右這一方向，以下圖所示：

則每一個像素的disparity只和其左邊的像素相關，有以下公式：

r指某個指向當前像素p的方向，在此能夠理解爲像素p左邊的相鄰像素。
Lr(p, d) 表示沿着當前方向（即從左向右），當目前像素p的disparity取值爲d時，其最小cost值。

這個最小值是從4種可能的候選值中選取的最小值：

1.前一個像素（左相鄰像素）disparity取值爲d時，其最小的cost值。

2.前一個像素（左相鄰像素）disparity取值爲d-1時，其最小的cost值+懲罰係數P1。

3.前一個像素（左相鄰像素）disparity取值爲d+1時，其最小的cost值+懲罰係數P1。

4.前一個像素（左相鄰像素）disparity取值爲其餘時，其最小的cost值+懲罰係數P2。

 

另外，當前像素p的cost值還須要減去前一個像素取不一樣disparity值時最小的cost。這是由於Lr(p, d)是會隨着當前像素的右移不停增加的，爲了防止數值溢出，因此要讓它維持在一個較小的數值。

C(p, d)的計算很簡單，由以下兩個公式計算：

即，當前像素p和移動d以後的像素q之間，通過半個像素插值後，尋找兩個像素點灰度或者RGB差值的最小值，做爲C(p, d)的值。

具體來講：設像素p的灰度/RGB值爲I(p)，先從I(p)，(I(p)+I(p-1))/2,(I(p)+I(p+1))/2三個值中選擇出和I(q)差值最小的,即

d(p,p-d)。而後再從I(q)，(I(q)+I(q-1))/2,(I(q)+I(q+1))/2三個值中選擇出和I(p)差值最小的,即d(p-d,p)。最後從兩個值中選取最小值，就是C(p, d)

 

上面是從一個方向（從左至右）計算出的像素在取值爲某一disparity值時的最小cost值。可是一個像素有8個鄰域，因此一共要從8個方向計算（左右，右左，上下，下上，左上右下，右下左上，右上左下，左下右上）這個cost值。

而後把八個方向上的cost值累加，選取累加cost值最小的disparity值做爲該像素的最終disparity值。對於每一個像素進行該操做後，就造成了整個圖像的disparity map。公式表達以下：

SGBM算法遍歷每一個像素，針對每一個像素的操做和disparity的範圍有關，故時間複雜度爲：