經典的同態濾波算法的優化及其應用參數配置。

　　同態濾波，網絡上有不少文章提到過這個算法，咱們摘取百度的一段文字簡要的說明了該算法的核心： 同態濾波是一種減小低頻增長高頻，從而減小光照變化並銳化邊緣或細節的圖像濾波方法。

　　關於該算法，網絡上已經有不少資料了，也有不少給出了參考代碼，可是很痛心的是我看到的沒有一個是徹底正確的，或多或少都存在瑕疵，有些雖然算法最後的效果是差很少正確的，其實是和真正的算法是背道而馳的。

　　咱們在這裏只有簡單的語句來描述下該算法的過程。

       對於一幅圖像f(x,y)，能夠表示爲照射份量i(x,y)和反射份量r(x,y)的乘積。其中0<i(x,y)<∞，0<r(x,y)<1。i(x,y)描述景物的照明，變化緩慢，處於低頻成分。r(x,y)描述景物的細節，變化較快，處於高頻成分。由於該性質是乘性的，因此不能直接使用傅里葉變換對i(x,y)和r(x,y)進行控制，所以能夠先對f(x,y)取對數，分離i(x,y)和r(x,y)。令z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y)。因爲f(x,y)的取值範圍爲[0, L-1]，爲了不出現ln(0)的狀況，故採用ln ( f(x,y) + 1 ) 來計算。

      而後取傅里葉變換，獲得 Z(u,v) = Fi(u,v) + Fr(u,v)。

       而後使用一個濾波器，對Z(u,v)進行濾波，有 S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) = H(u,v)Fi(u,v) + H(u,v)Fr(u,v)。

       濾波後，進行反傅里葉變換，有 s(x, y) = IDFT( S(u,v) )。

       最後，反對數（取指數），獲得最後處理後的圖像。g(x,y) = exp^(s(x,y)) = i0(x,y)+r0(x,y)。因爲咱們以前使用ln ( f(x,y)+1)，所以此處使用exp^(s(x,y)) - 1。  i0(x,y)和r0(x,y)分別是處理後圖像的照射份量和入射份量。

       這個濾波器一般咱們取以下形式：

              

       其中，

           γ_L< 1，γ_H >1，控制濾波器幅度的範圍。H_hp一般爲高通濾波器，如高斯（Gaussian）高通濾波器、巴特沃茲(Butterworth)高通濾波器、Laplacian濾波器等。

       若是H_hp採用Gaussian高通濾波器，則有：

              

       其中，c爲一個常數，控制濾波器的形態，即從低頻到高頻過渡段的陡度（斜率），其值越大，斜坡帶越陡峭，見下圖。

                  

                               圖2 同態濾波器幅頻曲線

　　若是英文能夠的，直接看http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/LECT5/node4.html這篇文章。

　　其實過程很簡單，可是不少博文都給出了錯誤的代碼，好比在圖像加強處理之：同態濾波與Retinex算法(一)同態濾波一文中，其給出的主要代碼以下：

function I3 = homofilter(I)    %同態濾波函數 subplot(1,2,1),imshow(I);title('同態濾波以前原始圖像'); I=double(rgb2gray(I)); [M,N]=size(I); rL=0.5; rH=5;%可根據須要效果調整參數 c=3; d0=9; I1=log(I+1);%取對數 FI=fft2(I1);%傅里葉變換 n1=floor(M/2); n2=floor(N/2); for i=1:M for j=1:N D(i,j)=((i-n1).^2+(j-n2).^2); H(i,j)=(rH-rL).*(exp(c*(-D(i,j)./(d0^2))))+rL;%高斯同態濾波 end end I2=ifft2(H.*FI);%傅里葉逆變換 I3=real(exp(I2)); subplot(1,2,2),imshow(I3,[]);title('同態濾波加強後');  

　　咱們看看其傳遞函數H那一行的代碼： 

  H(i,j)=(rH-rL).*(exp(c*(-D(i,j)./(d0^2))))+rL;%高斯同態濾波    

  很明顯，這裏有着嚴重的錯誤，1-exp操做，他直接寫成了exp。雖然他最後獲得了一個彷佛不錯的結果，可是這是違背科學的。

　   再好比同態濾波及其實現 這篇文章其實也是不對的，其部分代碼以下：

% 生成同態濾波函數，中心在(m+1,n+1) Homo = zeros(P, Q); a = D0^2; % 計算一些不變的中間參數 r = rh-rl; for u = 1 : P for v = 1 : Q temp = (u-(m+1.0))^2 + (v-(n+1.0))^2; Homo(u, v) = r * (1-exp((-c)*(temp/a))) + rl; end end %進行濾波 G = F1 .* Homo; % 反傅里葉變換 gp = ifft2(G);

　 因爲以前計算的fft結果沒有中心化，因此進行濾波前須要對Homo進行反中心化，因此這裏的代碼也不對（這裏是我錯了，他代碼前面有* (-1)^(i+j)，有這個的話後面不須要ifftshift了）。

 　咱們在看matlab—同態濾波的實現這篇文章的代碼：

clear all clc I =imread('moon128.bmp'); % tun.bmp figure(1),subplot(221),imshow(I); title('原圖') I=im2double(I);    %轉換數據類型爲double型 [M,N]=size(I); P = 2*M; Q = 2*N; I2 = zeros(P,Q); for i = 1:M for j =1:N I2(i,j) = I(i,j);  %對圖像進行填充 end end figure(1),subplot(222),imshow(I2);title('填充後的圖像') I2=log(I2+1);    %取對數 FI=fft2(I2);    %傅里葉變換 rL=0.25; rH=2.2;     % 可根據須要效果調整參數 c=2.0;       %銳化參數 D0=20; n1=floor(P/2); n2=floor(Q/2); for u=1:P for v=1:Q D(u,v)=sqrt(((u-n1).^2+(v-n2).^2));  %頻率域中點（u，v）與頻率矩形中心的距離 H(u,v)=(rH-rL).*(1-exp(-c.*(D(u,v)^2./D0^2)))+rL; %高斯同態濾波 end end H=ifftshift(H);  %對H作反中心化 I3=ifft2(H.*FI);  %傅里葉逆變換 I4=real(I3); I5 =I4(1:M, 1:N);  %截取一部分 I6=exp(I5)-1;  %取指數 figure(1),subplot(223),imshow(I6,[]);title('同態濾波加強後'）

　　我的以爲這個比較接近正確的結果了，可是我以爲仍是有點問題，im2double函數會將圖像數據歸一化到【0,1】之間，和大部分的實現方式都不一樣。並且這個時候若是避免log後面參數爲0，也不易加上1了，數量級太大了，加上0.0001之類的就能夠了。

　　再找一篇文章的代碼：同態濾波用於光照不均勻校訂，這裏的貼的效果也不錯，代碼以下：

clear all; [filename,pathname]=uigetfile('*.*','選擇圖像文件');%經過瀏覽文件夾來讀取圖片 if isequal(filename,0)   %判斷是否選擇 msgbox('沒有選擇任何圖片'); else image=imread(strcat(pathname,filename));%獲取圖像路徑path，而後讀取圖片file end figure();subplot(2,2,1); imshow(abs(image)); title('原始圖像'); img=im2double(image);   %轉換圖像矩陣爲雙精度型 lnimg=log(img+0.000001);   %取對數 Fimg=fft2(lnimg);     %傅里葉變換 P=fftshift(Fimg);   %將頻域原點移到圖像中心； [M,N]=size(P);     %返回的行數和列數在P做爲單獨的輸出變量 subplot(2,2,2);imshow(uint8(abs(P)),[]);title('濾波前的頻譜圖像'); %顯示無符號8位數，即256級的灰度圖像 x0=floor(M/2); y0=floor(N/2);%表示將向量M和N每一個元素與2做除法後取整 %同態濾波參數設置 D0=100;%截止頻率 c=1.50;%銳化係數 Hh=0.5;Hl=2; %Hh<1,Hl>1，Hh爲高頻增益，Hl爲低頻增益， %經過改變這兩個參數，獲得不一樣的濾波效果 for u=1:M for v=1:N D(u,v)=sqrt((u-x0)^2+(v-y0)^2);%點（u,v）到頻率平面原點的距離 H(u,v)=(Hh-Hl)*(1-exp(-c*(D(u,v)^2/D0^2)))+Hl;%同態濾波器函數 end end hImg=Fimg.*H(u,v);%濾波，矩陣點乘 Q=fftshift(hImg);%傅里葉逆變換 subplot(2,2,3),imshow(uint8(abs(Q))),title('濾波後的頻譜圖像') gImg=ifft2(hImg);%反傅立葉變換 Y=exp(gImg); %取指數 J=im2uint8(Y);%轉換圖像矩陣爲無符號8位數，即256級的灰度圖像 subplot(2,2,4),imshow(J),title(' 濾波後的加強圖像')

　　這裏的代碼很明顯的Hh還比Hl小，我是在搞不懂做者這裏是怎麼考慮的，一樣的道理少了反中心化那一步。

　　經過以上代碼，咱們發現有的代碼在作FFT變換前會將圖像擴大一倍，好比這個matlab的網站中關於同態濾波也提到了2倍尺寸：https://blogs.mathworks.com/steve/2013/06/25/homomorphic-filtering-part-1/，雖說得頗有道理，可是通過測試，我以爲真的有必要嗎，又佔內存又減低了速度。

　　綜合各篇文章的代碼，經過實驗我整理後的matlab代碼以下：

% 同態濾波器 % ImageIn   - 須要進行濾波的灰度圖像 % High      - 高頻增益,須要大於1 % Low       - 低頻增益,取值在0和1之間 % C         - 銳化係數 % Sigma     - 截止頻率，越大圖像越亮 % 輸出爲進行濾波以後的灰度圖像 function [ImageOut] = HomoFilter(ImageIn, High, Low, C, Sigma) Img = double(ImageIn);      % 轉換圖像矩陣爲雙精度型,不會改變數據自己 [Height, Width] = size(ImageIn);      % 返回的行數和列數 CenterX = floor(Width / 2);     % 中心點座標 CenterY = floor(Height / 2); LogImg = log(Img + 1);      % 圖像對數數據 Log_FFT = fft2(LogImg);     % 傅里葉變換 for Y = 1 : Height for X = 1 : Width Dist= (X - CenterX) * (X - CenterX) + (Y - CenterY) * (Y - CenterY);            % 點（X,Y）到頻率平面原點的距離 H(Y, X)=(High - Low) * (1 - exp(-C * (Dist / (2 * Sigma * Sigma)))) + Low;      % 同態濾波器函數 end end H = ifftshift(H);                   % 對H作反中心化 Log_FFT = H.* Log_FFT;              % 濾波，矩陣點乘 Log_FFT = ifft2(Log_FFT);           % 反傅立葉變換 Out = exp(Log_FFT)-1;               % 取指數 % 指數處理ge = exp(g)-1;% 歸一化到[0, L-1] Max = max(Out(:)); Min = min(Out(:)); Range = Max - Min; for Y = 1 : Height for X = 1 : Width ImageOut(Y, X) = uint8(255 * (Out(Y, X) - Min) / Range); end end end 

　　以上代碼只針對灰度圖像。

　　第一，咱們沒有將圖像擴大2倍，實踐證實不須要。第二，咱們沒有把圖像歸一化，若是使用歸一化的代碼，一樣的參數會有不一樣的效果。第三，必須對H作反中心化處理，若是不對H反中心化，就要對FFT的結果進行中心化，此時代碼以下所示：

function [ImageOut] = HomoFilter(ImageIn, High, Low, C, Sigma) Img = double(ImageIn);      % 轉換圖像矩陣爲雙精度型,不會改變數據自己 [Height, Width] = size(ImageIn);      % 返回的行數和列數 CenterX = floor(Width / 2);     % 中心點座標 CenterY = floor(Height / 2); LogImg = log(Img + 1);      % 圖像對數數據 Log_FFT = fft2(LogImg);     % 傅里葉變換 Log_FFT = fftshift(Log_FFT); for Y = 1 : Height for X = 1 : Width Dist= (X - CenterX) * (X - CenterX) + (Y - CenterY) * (Y - CenterY);            % 點（X,Y）到頻率平面原點的距離 H(Y, X)=(High - Low) * (1 - exp(-C * (Dist / (2 * Sigma * Sigma)))) + Low;      % 同態濾波器函數 end end Log_FFT = H.* Log_FFT;              % 濾波，矩陣點乘 Log_FFT = ifftshift(Log_FFT); Log_FFT = ifft2(Log_FFT);           % 反傅立葉變換 Out = exp(Log_FFT)-1;               % 取指數 % 指數處理ge = exp(g)-1;% 歸一化到[0, L-1] Max = max(Out(:)); Min = min(Out(:)); Range = Max - Min; for Y = 1 : Height for X = 1 : Width ImageOut(Y, X) = uint8(255 * (Out(Y, X) - Min) / Range); end end end 

　　算法使用場合及參數配置說明：

　　（1）、光照不均勻圖像的均勻化。

                         

                     

 　　要實現此種效果建議的參數配置以下：High = 2, Low =0.2, C > 1,  50<Sigma < 200;

　　(2) 偏暗圖像的加強

        

        

     要實現此種效果建議的參數配置以下：High = 2, Low =0.2, C = 0.1,  Sigma = max(Width, Height)；

     以上是彩色的圖，彩色圖的處理方式有不少種，能夠參考我之前所發的博文。

　 鑑於算法的這個特性，這個算法應該也能夠應用在16位圖像的HDR顯示上，有空作作試驗。

      matlab的速度仍是很慢的，我已經用C++結合SSE優化對上述過程進行了編碼優化，其中的FFT使用了opencv的代碼，目前opencv最新版本的FFT已經支持任意長度的序列了，可是爲了速度，通常仍是調用GetOptimalDftSize獲取最佳的序列長度，而後用SSE優化一下其餘的輔助處理，速度上對800*600的灰度圖30ms左右。詳見附件的SSE_Optimization_Demo的enhance菜單。

　　

       Demo下載地址：https://files.cnblogs.com/files/Imageshop/SSE_Optimization_Demo.rar