斯特林數-斯特林反演

斯特林數

定義：

自行百度

遞推式：

\[ \begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\cdot \begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}\\ \begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1 \end{bmatrix}+(n-1)\cdot \begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix} \]

第二類斯特林數

一個組合數意義清晰的式子：
\[ \displaystyle n^m=\sum_{k=0}^m\begin {Bmatrix}m\\k \end{Bmatrix}C_n^kk!\\ \]
經過二項式反演的獲得（這裏是將m看做一個常數)：
\[ k!\begin {Bmatrix}m\\k \end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}C_k^ii^m\\ \]
上述式子用容斥原理也很好理解。

咱們還能夠將上述的式子化爲卷積的形式：
\[ \begin{align} \begin {Bmatrix}m\\k \end{Bmatrix}&=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\frac{k!}{i!(k-i)!}i^m\\ &=\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^{k-i}}{(k-i)!}\frac{i^m}{i!}\\ \end{align} \]

第二類斯特林數的應用：

【2011集訓賈志鵬】Crash的文明世界

【TJOI/HEOI2016】求和

CF 932E Team Work

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斯特林數與階乘冪之間的關係：

第二類斯特林數與降低階乘冪的關係：

\[ C_n^kk!=n^{\underline k}\\ 因此：\displaystyle n^m=\sum_{k=0}^m\begin {Bmatrix}m\\k \end{Bmatrix}C_n^kk!=\sum_{k=0}^m\begin {Bmatrix}m\\k \end{Bmatrix}n^{\underline k}\\ \]

固然也有第一類斯特林數與上升階乘冪的關係：

\[ \displaystyle x^{\overline{n}}=\sum_k \begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}x^k \]

證實使用數學概括法證實的：

首先咱們有\((x+n-1)\cdot x^k=x^{k+1}+(n-1)x^k\)。

因此：
\[ \begin{align} \displaystyle x^{\overline{n}}&=(x+n-1)x^{\overline{n-1}}\\ &=(x+n-1)\sum_k \begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix}x^k\\ &=\sum_k \begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix}x^{k+1}+\sum_k \begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix}x^k (n-1)\\ &=\sum_k \begin{bmatrix}n-1\\k-1 \end{bmatrix}x^{k}+\sum_k \begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix}x^k (n-1)\\ &=\sum_k x^k (\begin{bmatrix} n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix})\\ &=\sum_k x^k\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix} \end{align} \]

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斯特林反演：

\[ \displaystyle f(n)=\sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}g(k) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\begin {bmatrix} n\\k \end{bmatrix}f(k) \]

首先咱們要證實一個叫反轉公式的東西：

\[ \displaystyle \sum_{k=m}^n (-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}k\\m\end{Bmatrix}=[m=n]\\ \sum_{k=m}^n (-1)^{n-k}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} \begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}=[m=n] \]

在這以前，咱們先考慮如何創建上升階乘冪與降低階乘冪之間的關係。

先給出結論：
\[ x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}\\ x^{\overline{n}}=(-1)^n(-x)^{\underline{n}} \]
證實：
\[ \begin{align} (-1)^n(-x)^{\overline{n}}&=(-1)^n(-x)(-x+1)...(-x+n-1)\\ &=(-1)^n(-x)(-(x-1))...(-(x-n+1))\\ &=x(x-1)...(x-n+1)=x^{\underline{n}} \end{align} \]
對於\(x^{\overline{n}}=(-1)^n(-x)^{\underline{n}}\)證實方法相同。
\[ \begin{align} \displaystyle n^m&=\sum_{k=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix}n^{\underline{k}}\\ &=\sum_{k=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix}(-1)^k(-n)^{\overline{k}} \end{align} \]
將下式帶入：
\[ \displaystyle x^{\overline{n}}=\sum_k \begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}x^k \]
得：
\[ \begin{align} \displaystyle n^m&=\sum_{k=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix}(-1)^k(-n)^{\overline{k}}\\ &=\sum_{k=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix}(-1)^k\sum_{j=0}^k\begin{bmatrix}k\\j\end{bmatrix}(-n)^j\\ &=\sum_{j=0}^mn^j\sum_{k=j}^{m}\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}k\\j\end{bmatrix}(-1)^{k-j} \end{align} \]
因而咱們就獲得了一個反轉公式，另外一個證實方法相似，反過來帶入就能夠了。
\[ \sum_{k=j}^m\begin{Bmatrix}m\\k\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}k\\j\end{bmatrix}(-1)^{k-j}=[j=m] \]
而後咱們就能夠證實斯特林反演了：
\[ \begin{align} \displaystyle 若知足g(n)&=\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}f(j)\\ 則f(n)&=\sum_{j=0}^n[j==n]f(j)\\ &=\sum_{j=0}^n\sum_{k=j}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}k\\j\end{bmatrix}(-1)^{k-j}f(j)\\ &=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\begin{bmatrix}k\\j\end{bmatrix}f(j)\\ &=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}g(k) \end{align} \]

例題：

2018雅禮集訓1-16 方陣