數論——同餘式、剩餘類

時間 2019-12-04

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同餘式

【定義】任給 $a,b,m\in Z$ ，若是和相差一個的倍數，即，就說與模同餘，記爲 $a\equiv b\ (\mod m)$ ，並稱爲同餘式的模。ui

這裏，可表示爲，因此.io

【定理】任給正整數，咱們有：class

整數與模同餘當且僅當它們被除所得的餘數相同.
模同餘是上的等價關係，即有：

$a\equiv a \ (\mod\ m)$ ，（自反性）
$a\equiv b\ (\mod\ m)\ => b\equiv a\ (\mod\ m)$ ，（對稱性）
$a\equiv b\ (\mod\ m)$ 且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$ ， $=> a\equiv c\ (\mod\ m)$ ，其中爲任意的整數. （傳遞性）

設對 $a,b,c,d\in Z$ 有模同餘式 $a\equiv b\ (\mod\ m)$ 與 $c\equiv d\ (\mod\ m)$ ，則

\begin{gather}
a + c \equiv b + d\ (\mod\ m) \\

a-c\equiv b-d\ (\mod\ m) \\

ac\equiv bd\ (\mod\ m)
\end{gather}

對於任意的整係數多項式及整數與

a\equiv b\ (\mod\ m) => P(a)\equiv P(b)\ (\mod\ m)

證實：im

做帶餘除法，，這裏 $u,v\in Z$ 且 $r,s\in \{0,1,\cdots,m-1\}$ .顯然 $|r-s|=max\{r,s\}-min\{r,s\}\leq m-1$ ，因而

$a\equiv b\ (mod\ m) <=> m|m(u-v)+r-s <=> m|r-s <=> r-s=0 <=> r=s$

設 $a,b,c\in Z$ ，，故 $a\equiv a \ (\mod\ m)$ ；當時亦有，故 $a\equiv b\ (\mod\ m)\ <=> b\equiv a\ (\mod\ m)$ ； $a\equiv b\ (\mod\ m)$ 且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$ ，與被除所得的餘數相同且與被除所得的餘數相同，與被除所得的餘數相同，即 $a\equiv c \ (\mod\ m)$ .

設，這裏 $q_1,q_2\in Z$ ，則

$\begin{gather} a\pm c=b\pm d+m(q_1\pm q_2) => a\pm c\equiv b\pm d\ (\mod\ m) \\ ac-bd=a(c-d)+(a-b)d=amq_2+mq_1d=m(aq_2+dq_1) => ac\equiv bd\ (\mod\ m) \end{gather}$

設 $P(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$ ，這裏 $c_0,\cdots,c_n\in Z$ .假如 $a\equiv b\ (mod\ m)$ ，反覆運用3知，對 $i=0,1,\cdots,n$ 有 $a^i\equiv b^i\ (mod\ m)$ 與 $c_ia^i\equiv c_ib^i\ (mod\ m)$ ，於是

$P(a)=\sum_{i=0}^{n}c_ia^i\equiv \sum_{i=0}^{n}c_ib^i=P(b)\ (\mod\ m)$