數論-一次同餘式

同餘式：

設f(x)=an*(x**n)+an-1*(x**n-1)+...+a1*x+a0(n≥1,ai∈Z)，f(x)∈Z[x],則f(x)≡0 (modm)是模m的同餘式，若an≠ 0(mod m),則f(x)≡0 (modm)的次數爲n次

（Cr是該同餘式的解<==>f(r)≡0 (mod m)）

例：x**5+2x**4+x**3+2x**2-2x+3 ≡ 0 (mod 7)

當r=1時，則1+2+1+2-1+3=7≡0 (mod 7)

當r=2時，則2**5+2*2**4+2**3+2*2**2-2*2+3 =79 ≠ 0 （mod 79）

...

可求得，當r=1,5,6時，符合此同餘式

 

定義：f(x1,x2,...,xk)∈Z[x1,x2,...,xk](k元整數係數多項式)，則

{Cr1,Cr2,...,Crk}是f(x1,x2,...,xk) ≡ 0(mod m)的解<==>f(r1,r2,...,rk) ≡ 0(mod m)(共有m**k種可能，且同餘式的解是剩餘類)

例：y**2-x**3+1≡0 (mod p)

當p=2時，{1,0}和{0,1}符合此同餘式，即Np=2

當p=3時，{1,2}和{2,1},{2,2}符合此同餘式，即Np=3

...

 

性質1：(a,m)=1,m≥1,則a*x≡b (mod m)恰有一解

證實：

C:{0,1,2,...,m-1}是模m的一組徹底剩餘系

D:{a*0,a*1,...,a*m-1}也是模m的一組徹底剩餘系

a*i ≡ <a*i> (mod m)

故∃i,有a*i ≡ b (mod m)

∴Ci是a*x≡b (mod m)的解（已證實有解）

假設a*i≡ b (mod m), a*j≡b(mod m)，其中i≠j

故a*i ≡ a*j (mod m)

∵(a,m)=1

∴i ≡ j (mod m)

∵i,j ∈{0,1,2,...,m-1},故i=j

又i≠j，故假設不成立，即只存在一個解（證實惟一性）

性質2：(a,m)=1,則C<a**((φ(m)-1)*b)>是a*x≡b (mod m)的惟一解

∵(a,m)=1

∴a**φ(m)≡1 (mod m)

故b*a**φ(m) ≡ b (mod m)

a*(a**(φ(m)-1)*b)≡ b (mod m)

即x ≡ a**(φ(m)-1)*b (mod m)

性質3：若(a,m)=d,則a*x≡ b(mod m)有解，當且僅當d | b

證實：

（必要性 有解-> d|b）

∵∃ x0,有a*x0  ≡ b (mod m)

∴∃ y0,有a*x0 = b +m*y0

∴a*x0-m*y0=b

又∵(a,m)|a,(a,m)|m

故(a,m)|b

即d|b

(充分性 d|b->有解)

a*x≡ b(mod m), d|b

故(a/d)*x ≡ b/d (mod m/d)

∵(a/d,m/d)=1,令a1=a/d,b1=b/d,m1=m1/d

則a1*x≡b1(mod m1)且（a1,m1）=1

故根絕性質1，此同餘式且有一解x0

∴m/d | (a*x0-b)/d

即m | a*x0-b -->a*x0 ≡ b (mod m)

性質4：若(a,m)=d,d|b 則a*x≡b (mod m)恰有d個解(證實太難，之後補上！！！)

性質5：設k≥1,a1*x1+..+ak*xk ≡ 0 (mod m)有解，當且僅當(a1,a2,...,ak,m) | b ，設(a1,a2,...,ak)=d,若d|b則此同餘式的解有(m**(k-1))*d個