卡特蘭數 [轉載]

me 一個童鞋跟 me 提過一個問題：說1-12 這 12 個數，分紅 2 組，而後每組按大小排序，其中一組中的數老是比另一組中對應順序的數要大，問有多少種狀況？me 還真作不出來，他告訴 me 說這是Catalan數。即便他這麼說，me 貌似仍是不太明白。不過這不影響，me 簡單搜索一下這個數(其實me之前就有所耳聞)，有好幾個用處，簡單羅列一下。

平衡括號

平衡括號：在一個合法的算術表達式中能夠出現的括號都是平衡括號，更專業一點的說法應該是「全部的左括號和右括號能夠創建一對一的對應關係，而且左括號在對應的右括號左側」。像()(), (())(), (()())(()) 都是平衡括號，可是(()))(, ()())() 就不是平衡括號。

觀察一下特色，判斷所給的一個括號串是否是平衡很容易：設置一個計數器，初始值爲 0，而後從左向右數，遇到左括號 +1，遇到右括號 -1，在過程當中不出現負數，而且最終的計數器仍是 0，那麼就是平衡括號；除此以外就是非平衡括號。

如今的問題是，若是有 n 對括號，問平衡的狀況有多少種？暫時能夠數一下 n = 1, 2, 3, 4 時的狀況：

n = 1: ()
n = 2: ()(),   (())
n = 3: ()()(),  ()(()), (())(), (()()), ((()))
n = 4:()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), ((()))(), (()()()), (()(())), ((())()), ((()())), (((())))

入棧出棧

問：n 個數入棧出棧，問狀況有多少種？

好比所有入進去而後倒退出棧是 1 種；入一個出一個，所有都這樣，是 1 種。入棧出棧的狀況和n個數相不相同沒有關係。由於能夠視第一個入棧的爲 1，第二個爲 2，最後一個爲 n。若是是 n 個相同的數的入棧出棧狀況，假設數字都是括號，入棧是左括號，出棧是右括號，那麼一種入棧出棧狀況應該就對應平衡括號中的一種狀況，因此，該問題和問題1是等價問題。

走方格

問：一個 n*n 的方格，從左下角走到右上角，只能向右和向上走，可是不能繞過左下角和右上角肯定的對角線，問有多少種走法？

若是將向右走看作是入一下棧，向上走是出一下棧，不能繞道對角線以上，也就是一種合法的入棧出棧，從左下角開始到右上角，要入 n 次棧出 n 次棧，因此一種走法對應一種 n 個數的入棧出棧狀況，因而，此問題和問題2是等價問題；

二叉樹的形狀

問：n 個結點的二叉樹的形狀有多少種？

所謂的二叉樹，就是有一個根結點，有棵左子樹還有一棵右子樹。n = 3: ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())) 時的括號匹配，me 們換個角度看這個表示：第一個成對的括號是樹根，括號內部的子串和括號右邊的子串依然是平衡括號串，把內部的看作是左子樹，把右邊的當作是右子樹，好比(())()對應的是有一個左節點和一個右節點的二叉樹，()()() 表示只有右子樹的二叉樹(右子樹只有一個右結點)；若是上面的對應成立(遞歸證實)，那麼二叉樹的狀況就和問題1 是等價問題；

矩陣鏈乘

問：A = A0 * A1 * A2 * ... * An，Ai 都是矩陣，式子合法，那麼問，若是使用括號來改變計算順序的話，計算方法有多少種？

原本的乘法運算是從左到右運算，me 們將運算使用棧模擬一下：首先將 A0 壓入棧底，而後看 A1，和棧頂的 A0 計算結果，棧頂 A0 出棧而結果入棧；看A2，和棧頂元素計算結果，棧頂元素出棧、結果入棧；...若是使用括號改變了順序，好比A0*(A1*A2)*...看A1的時候，入棧不計算結果，看A2的時候，計算結果，A1出棧結果入棧；...若是這樣看來的話，每一種計算順序，實際上對應一種 A0-A(n-1) 的入棧出棧狀況，因而，此問題和問題2等價；

...

有時候上面幾個問題的等價不是那麼明顯，然而上面的幾個問題均可以用同一個遞推公式來表示：

C0 = 1 ; 
Cn = ∑ Ci · C(n-1-i) ;

舉例：
C0 = 1; C1 = 1; C2 = 2; C3 = 5; C4 = 14;
C5 = C0C4 + C1C3 + C2C2 + C3C1 + C4C0 = 14+5+4+5+14 = 42

上面的幾個問題都是等價問題，所得的數就是 Catalan 數，能夠計算出通項公式(能夠使用生成函數法)：

Cn = C(n,2n)/(n+1)
，其中C(m,n)是 n 個不一樣的數中取 m 個數造成的組合數;

注：C5 = 42，介貌似是一個灰常有名的數，能夠記一下。