兩行代碼實現快速冪取模算法

　　咱們知道，對於a^p（p>0）的求值，樸素的求冪算法採用遞推的方式，即將底數a累乘指數p次做爲結果。這種算法的時間複雜度爲O(p)，當指數p很大（>1e7）時，即使該算法擁有線性時間複雜度，在當前主流的機器上仍須要花大量的運算時間。

　　所以須要對樸素冪算法進行改進，一種高效的方式是分治：當p爲偶數時，直接將a^p分爲(a^p/2)*(a^p/2)兩部分，而每一個a^p/2又可繼續作一樣的劃分，直到降爲1次冪；當p爲奇數時，咱們從式子中提出一個a，則剩下的a^p-1就變爲了偶指數形式，回到了前述狀況；當指數爲0時，能夠很容易得出結果爲1。最後再將分出的結果合併便可。由此咱們能夠寫出遞歸式的數學表達：

　

　　分治解法的時間複雜度爲O(log p)，這個結果相比線性複雜度而言有了很大提高，例如當指數p=18,446,744,073,709,551,616時，只需計算64次乘法便可得出結果。

　　如何實現這個算法呢？首先會想到遞歸地處理這個問題：注意對於較大的運算結果，應考慮高精度模擬運算，或者考慮本文末尾的模m算法。

typedef long long ll;

ll fspow(ll a, ll p) {
    if(p==0)
        return 1;
    if(p&1) {
        ll t = fspow(a, p-1);
        return t*a;
    } else {
        ll t = fspow(a, p/2);
        return t*t;
    }
}

　　不少人對遞歸有一種直覺上的抵觸，認爲遞歸效率不高。實際並不老是如此。咱們知道函數調用的時間開銷主要體如今兩個方面：一、調用棧會保存函數的形參、局部變量、返回地址等信息，這須要由高延遲的訪存指令來實現；二、分支指令會形成額外的開銷，例如因爲分支預測失效形成的流水線沖刷等等。

　　但事實是，若數據規模很大時，相比於不當心把本來O(log p)的算法活生生地寫成O(p)的算法形成的浪費而言，這些由系統底層形成的開銷是微不足道的。除非你所面臨的是執行性能很是有限的系統，或者你想經過極限優化來避免被卡常，不然大可沒必要在乎函數調用引發的開銷。固然必須考慮遞歸的空間複雜度。

 

兩行代碼的非遞歸實現

　　遞歸算法的致命缺陷是它會增加地佔用棧空間，這一點是咱們不但願看到的。可否有一種既能保持簡潔優雅，又能擁有常數空間複雜度的快速冪算法呢？

　　有的，它就是快速冪算法的非遞歸版本。下面這兩行代碼已經將核心濃縮到了極致：

1 for (s=1; p;p/=2,a=a*a)
2         if (p&1) s=s*a;

　　其中a爲底數，p爲指數，算法結束後，s=a^p。

　　再來看代碼的原理。思路還是分治，這與咱們以前的討論是一致的，不一樣的是再也不遞歸地求解。

　　「分」的本質是使指數折半，這裏指數必須爲偶數。當指數折半後，要使冪結果不變，底數必須平方。形式化描述。而指數p/2又可繼續分爲p/4 p/8……1，底數則不斷平方。當指數降爲1時，底數即爲要求的結果。當指數不是偶數時，先拆出一個底數，則剩下的冪就是偶次冪，再按如上方法處理便可。

　　代碼中涉及一些小技巧：

　　　　1. 利用了整除算符/的向下取整特性。當指數p爲奇數時，p/2的結果實質上等同於p-1/2，這就免去了當咱們拆出一個底數時須要把p減一的麻煩。事實上，因爲除數爲2，也能夠寫成p>>=1，本質上利用了二進制除法。

　　　　2. 咱們知道%運算符的開銷是很大的，這裏只需判斷p的奇偶性，直接判斷p的二進制最低位便可。

 

具體應用

　　冪運算在許多場合都有着重要的運用。例如RSA非對稱加密算法中，明文經過以下公式進行加密：

C_i = M_i^e mod n

　　　　其中Ci爲密文，Mi爲與明文有關的數值，(e, n)爲公鑰對。

　　而密文經過以下公式解密：

M_i = C_i^d mod n

　　其中Mi爲與明文有關的數值，(d, n)爲私鑰對。

 

　　能夠看到，不管是加密仍是解密，都要用到冪運算與模運算。這就與咱們上文所述的快速冪運算頗有關聯。

 

　　不止RSA，在其它運用中也經常出現類型的形式，它們歸結下來以下面這個式子：

a^p mod k

　　因爲對冪取模，最終結果並不會大於等於k。再看看咱們的快速冪算法，中間結果極可能遠大於k，若是中間結果超出基本數據類型的範圍，還須要經過高精度模擬運算。咱們很快發現，當k可經過基本數據類型表示時，彷佛沒有必要採用高精度算法，上文的快速冪算法還能夠改進。

　　數論指出，(a*b) mod k = (a mod k)*(b mod k) mod k。即兩個數的乘積再取模，等於兩個數分別取模再相乘，最後取模。利用這個性質，咱們能夠將a^p mod k等價變形爲(a mod k)^p mod k，同時每次作乘法時，都先利用該性質縮小乘數，再相乘。

　　上述代碼修改成

1 a %= k;
2 for (s=1; p;p/=2,a=(a*a)%k)
3          if (p&1) s=(s*a)%k;

　　其中a，p，k，s的含義與上文一致。

　　這即是快速冪模k算法的非遞歸實現。