連續小波變換（CWT）

整理下時頻分析變換的方法，碰見好的文章就記錄下來了，本篇博客參考知乎https://www.zhihu.com/topic/19621077/top-answers上的一個回答，本身手敲一遍，加強記憶

首先說明這裏是連續小波變換，不會涉及離散小波變換，不涉及尺度函數。

對於一個morlet小波變換，其頻率成分分別是四、六、10，具體表達式以下：

 

經小波變換，獲得以下時頻圖：

圖1、二維時頻圖

三維時頻圖

從圖中能夠清晰辨認出原始信號含有的頻率成分及其個自對應的時間區間。若是你和我同樣認真的話，你會產生三個疑問？

（1）爲何小波變換能肯定信號頻率和其對應的時間區間？
（2）爲何頻率小的條紋比頻率高的條紋要細？

（3）爲何三個條紋顏色的深淺不同 ？

其實第（1）個問題能夠從上一篇的博客中總結出來。

第一個問題咱們把它一分爲二，爲何CWT能辨認出信號的頻率成分？爲何CWT能肯定頻率對應的時間區間？

固然先看下公式。來一個morlet小波基函數表達式

 

 morlet小波的基函數是由復三角函數乘上一個指數衰減函數構成，這裏表示中心頻率。仍是先看圖（分別令）

圖三

上圖左邊是基函數時域圖像，右邊是傅里葉變換圖像。能夠看到基函數的頻率正是其中心頻率的值。這裏給出morlet小波的傅里葉變換表達式

從表達式也能夠看出當頻率等於其中心頻率時，取極大值。這裏復三角函數能夠辨認頻率，衰減函數能夠保證其時域的有限支撐。只給一個固定的中心頻率可不能辨認信號的頻率，一樣，基函數只在【-2，2】之間也肯定不了時間區間。因此這裏的小波基函數須要平移和伸縮 。又是一個公式（按傳統，這個變大時前還有一個根號a，但我不討論這個）

繼續上圖，給出b=5（平移因子）,a=2（尺度變量）,即平移5個單位，縮小2倍的morlet小波基函數的圖像

圖四

相對圖三，從時域能夠明顯看出平移，從頻域也很明顯看出尺度伸縮。固然從傅里葉變換的性質也能夠推斷出來。

 好了，基函數算是告一段落，下面是激動人心的時刻，仍是得有公式。

這算是morlet小波變換的公式了。

好，回到第一個問題，爲何小波變換能肯定信號頻率和其對應時間區域？

從時頻圖一能夠看到，能看出條紋的部分明顯是關於頻率的積分極大值。

因此，把問題轉換一下，爲何小波變換會在原始信號固有的頻率上產生極大值，

而這極大值對應的區間正好是該頻率的時區。連續小波變換的運算是什麼？

是積分，是原始信號與小波基函數乘積後積分的過程，而積分就是一個求和的過程

 舉個例子：

一個頻率爲5的正弦函數，和乘積後積分，問當頻率爲什麼值時，他們的乘積積分後結果最大。答案你確定知道，當兩個正弦函數頻率相等的時候，而就是n=5的時候，他們的乘積積分後最大。有圖爲證：

好，到這裏你應該就明白了爲何小波變換會在原始信號固有的頻率上產生極大值。由於基函數裏包含復三角函數。

下面把換成小波基函數，換成morlet小波函數，去掉平移參數，並令初始中心頻率，令尺度參數

再次求其與y乘積積分後的最大值（這個得取模）。很明顯，當a=2的時候，也就是小波基函數頻率爲5的時候，會取的極大值，如圖

 到這裏，應該就很明朗了。小波小波，顧名思義，既要小又要有波動。morlet小波的波動性能夠用復三角函數表達，小則用衰減函數表達，數學上把這種小稱爲有限支撐。即morlet小波的有限支撐是經過一個指數衰減函數實現的。復三角函數使其能分析頻率（和原始信號乘積積分求極大值），衰減函數使其能夠定位時間，他們加起來，才使得morlet小波能夠用來作時頻分析。

CWT就是選一箇中心頻率而後經過尺度變換獲得一大堆中心頻率，又經過時移獲得一系列不一樣區間的基函數，分別和原始信號的某一段（對應基函數的區間）乘積再積分，產生的極值對應的頻率就是原始信號這一區間含有的頻率。

 

你不想換個角度看看嗎？

換個角度，咱們來從頻域看看，好嗎？根據傅里葉變化的性質Parseval公式可知：

兩信號乘積後時域的積分等於其 傅里葉變換後頻率的積分。好，換成信號和小波基函數

時域裏面乘積積分看的不明顯，頻域裏看就一目瞭然了，仍是那個頻率爲5的原始信號，看看他的頻域圖像

再看看五個中心頻率不一樣的小波基函數

好了，兩個函數再頻域乘積再積分，又一次很明顯，只有當小波中心頻率爲5的時候，小波基函數和原始信號乘積的積分纔會取得極大值。其餘的好像都是0啊

因此，小波能夠認爲是一個帶通濾波器，只容許頻率和小波中心頻率（通過尺度伸縮後）相近的信號的經過