Coding the Matrix (2)：向量空間

 

1. 線性組合

概念很簡單：

固然，這裏向量前面的係數都是標量。

 

2. Span

向量v1，v2，.... ，vn的全部線性組合構成的集合，稱爲v1，v2，... ，vn的張成（span）。向量v1，v2，...vn的張成記爲Span{v1，v2，... ，vn}。

回顧上一次課裏面的電腦登錄認證的過程，假設黑客知道使用 GF(2) 加密，截獲到一組電腦的問題 alpha 以及用戶的回答 beta：

那麼即便黑客不知道密碼， alpha 所組成的 span 裏面的全部問題均可以經過線性組合來獲得答案了，證實以下：

 

3. Generator

實際上就是基的概念：

 

4. 向量在實數上的 span

span 就是向量的全部線性組合。一個非零向量的 span 經過原點的線，是一維，兩個向量的 span 多是一維的，亦多是二維。

一個過原點的平面能夠表示成：

{[x, y, z]: [a, b, c] · [x, y, z] = 0}

在幾何上， (a, b, c) 又叫法向量。兩個平面相交，能夠獲得一根直線：

能夠看到，有兩種方法表示一個幾何物體：

1. 幾個向量的 span
2. 齊次線性方程組（b = 0）的解集。

 

5. Convex Full

向量線性組合係數之和爲 1，能夠獲得 Convex Full, 實際上這就是一個仿射組合。兩個二維向量的 Convex Full 是一條線段，三個三維向量的 Convex Full 是一個三角形。

 

6. 仿射空間和仿射組合

過三個點 u1, u2, u3 的平面能夠表示成 u1 + span{u2-u1, u3-u1},進一步能夠推導以下：

一樣的仿射組合的定義能夠表示成：

和上面的推導同樣，實際上

 

7. 齊次與非齊次線性方程組

齊次線性方程組的解集表示了一個過原點的幾何物體，如點，直線，平面等，這個結集也能夠看作一個 span。假設 U1 和 U2 是非齊次方程組的解，那麼將 U1 和 U2 分別帶到方程組，想減能夠獲得 U1 - U2 是齊次方程的組。因此有：

聯繫第6小節中的推導，假設 U1， U1, U3 是非齊次線性方程的三個解，那麼 U3 -U1 和 U2 -U1 一定是齊次線性方程組的兩個解，能夠看到，非齊次方程組的解就在  u1 + span{u2-u1, u3-u1} 的仿射空間內。