高等代數筆記2：向量空間與矩陣論

向量空間

向量空間的定義

向量空間就是解析幾何中的平面向量和空間向量的進一步抽象。回顧解析幾何的知識，平面中兩個線性無關的向量能夠線性表示整個平面上全部的向量，也就是說，對於任意的平面向量 $v$及兩個線性無關的向量 $e_1,e_2$，都存在實數 $x_1,x_2$
$v=x_1e_1+x_2e_2$ $(x_1,x_2)$稱爲 $v$在 $e_1,e_2$下的座標。有了兩個線性無關的平面向量，全部平面都和一個實數對一一對應，一樣地，全部空間向量都和一個三維實數對具備一一對應的關係。同時，向量的加法（按平行四邊形法則）就是實數對各變元相加，向量的數乘就是實數對各變元乘以該實數。咱們將這一規則從2、三維推廣到n維，就獲得n維向量空間。
定義2.1 $K$是一個數域， $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的各變元都是 $K$中的數，全體這樣的 $n$元數對構成的集合稱爲 $n$維向量空間

$n$維向量空間實際上就是 $n$維空間的一個"點"，只不過在二維和三維，咱們有明確的幾何直觀，二維的點就是平面上的一個點或平面上的一個向量，三維的點就是空間上的一個點或空間的一個向量。在超過四維的狀況下，咱們就沒法想象幾何上的 $n$維向量到底「長成什麼樣」，不過形式是 $n$維實數對。咱們規定： $n$維向量空間上的加法爲各變元分別相加，數乘爲各變元分別乘以該常數。咱們就在 $n$維向量空間上，創建了兩個運算。而且，按照數域的運算性質，容易驗證 $n$維向量空間有以下的運算性質：
(1)(加法交換律) $x_1+x_2=x_2+x_1$
(2)(加法結合律) $x_1+x_2+x_3=x_1+(x_2+x_3)$
(3)(零元) $0+x=x$
(4)(存在相反元) $x+(-x)=0$
(5)(數乘交換律) $(ab)x=a(bx)$
(6)(數乘結合律) $(a+b)x=ax+bx$
(7)(數乘結合律) $a(x_1+x_2)=ax_1+ax_2$
(8)(單位元) $1.x=x$

這樣，向量就好像「數」同樣與數域中的數一塊兒參與運算，這就啓發咱們：能運算的，不只僅只有數，便是是抽象的集合中的元素，也是能夠經過定義某種運算，具備某種運算規律，就能夠如同數同樣進行運算，這樣，咱們對代數的認識，就從具體，走向抽象，能夠認爲：抽象，就是現階段代數的核心！

固然，咱們不是爲了抽象而進行抽象，向量空間有其明確的幾何背景，那就是解析幾何中的二維平面向量空間和三維立體幾何向量空間，因此，接下來的任務，咱們要將平面解析幾何和立體解析幾何的若干觀念，推廣到 $n$維向量空間當中。

向量空間的結構

接下來，咱們將解析幾何中的若干觀念，推廣到 $n$維向量空間中去。咱們知道，平面解析幾何中，兩個向量平行，就等價於存在實數 $k$， $x_1=kx_2$，此時
$x_1-kx_2=0$兩個向量不平行，那麼就不存在實數 $k$，使得 $x_1=kx_2$，若是假設
$k_1x_1+k_2x_2=0$那麼，就必定有 $k_1=k_2=0$，不然，假設 $k_1\neq 0$，那麼
$x_1=-\frac{k_2}{k_1}x_2$若是兩個向量不平行，那麼，平面上任意向量，均可以表爲這兩個向量的線性組合。
$x=k_1x_1+k_2x_2$對於 $n$維向量，一樣有線性相關，線性無關，線性組合的概念。

定義2.2 $x_1,\cdots,x_m$是數域 $K$上的 $n$維向量空間的一個向量組， $k_1,\cdots,k_m\in K$，稱向量 $k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m$是 $x_1,\cdots,x_m$的一個線性組合。

定義2.3 $x_1,\cdots,x_m$是 $K$上的 $n$維向量空間的一個向量組，若是存在 $K$上的一組不全爲 $0$的數 $k_1,\cdots,k_m\in K$，使得線性組合
$k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m=0$則稱 $x_1,\cdots,x_m$線性相關，不然稱 $x_1,\cdots,x_m$線性無關

下面咱們給出線性相關和線性無關的一個等價定義
定理2.1 $x_1,\cdots,x_m$是 $K$上的 $n$維向量空間的一個向量組， $x_1,\cdots,x_m$線性相關的充要條件是存在某個向量能被其餘向量線性表示

證：
$x_1,\cdots,x_m$線性相關，則存在不全爲 $0$的 $K$中的數 $k_1,\cdots,k_m$，知足
$k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m=0$不失通常性，不妨設 $k_1\neq 0$，則 $x_1=-\frac{1}{k_1}[k_2x_2+\cdots+k_mx_m]$

這就說明了，向量組線性相關，就等價於某個向量是"多餘"的，體如今該向量能表示成其餘向量的線性組合，去掉該向量和保留該向量，先後的向量組是等價的。那麼何謂向量組的等價呢？

定義2.4 $x_1,\cdots,x_s$， $y_1,\cdots,y_t$是 $K$上的 $n$維向量空間的兩個向量組，若是每一個 $x_i$都能被 $y_1,\cdots,y_t$線性表出，則稱 $x_1,\cdots,x_s$能被 $y_1,\cdots,y_t$線性表示；若是兩個向量組能夠相互線性表示，則稱兩個向量組等價。

容易驗證，向量組之間的等價是一個等價關係，即知足自反性，對稱性和傳遞性。容易證實，若是向量組線性相關，去掉能被其餘向量線性表示的向量後，兩個向量組是等價的，這就足以說明線性相關的緣由是由於存在某些多餘的向量，剔除掉多餘的向量，先後向量組等價。

那麼，咱們天然聯想到，對於線性相關的向量組，咱們逐個找到能被其餘向量線性表示的向量，予以剔除，直到向量組線性無關，就獲得徹底沒有多餘向量的向量組，而且，新的向量組能夠線性表出原來線性相關的向量組，就像新的線性無關的向量組就像原來的向量組的一個「不平行的平面向量」通常，經過線性組合就能獲得原來的全部向量，這是「基」這個概念的雛形，只不過，在向量組這裏，咱們稱爲「極大線性無關組」。

以上過程獲得的「極大線性無關組」可能會受到剔除順序的影響的，不一樣的剔除順序獲得的極大線性無關組都不一樣，可是，同一個線性相關向量組經過以上過程獲得的極大線性無關組，在向量的數量上是相等的，這就是空間的維度。下面，咱們對這裏觀點進行嚴格的論證。

爲了論述這個結論，咱們先討論齊次方程有非零解的一種特殊狀況。

引理2.1 對數域 $K$上的齊次線性方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$
若是 $n>m$，則齊次方程必有非零解

證：
用數學概括法對 $m$進行概括：
$m=1$時，若是 $n\ge 2$，則方程組等價於1個方程
$a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0$
若是 $a_{11}=0$，那麼 $(1,0,\cdots,0)$便是一組非零解。不然， $(a_{12},-a_{11},0,\cdots,0)$便是一組非零解。
假設 $m=k$時結論都成立，對 $k+1$個方程，若是 $n>k+1$，不妨設 $a_{11},\cdots,a_{m1}$不全爲0，不然 $(1,0,\cdots,0)$便是一組非零解。能夠經過初等變換，方程等價於
$\begin{cases} x_1+b_{12}x_2+\cdots+b_{1n}x_n=0\\ 0x_1+b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ 0x_1+b_{(k+1)2}x_2+\cdots+b_{(k+1)n}x_n=0 \end{cases}$由概括假設，方程組
$\begin{cases} b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ b_{(k+1)2}x_2+\cdots+b_{(k+1)n}x_n=0 \end{cases}$存在一組非零解 $(x_2^0,\cdots,x_n^0)$，再令 $x_1^0=-b_{12}x_2^0+\cdots-b_{1n}x_n^0$ ，這樣， $(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)$就是方程組的一組非零解。

定理2.2 $x_1,\cdots,x_s$和 $y_1,\cdots,y_t$是數域 $K$上 $n$維向量空間的兩個向量組， $x_1,\cdots,x_s$能被 $y_1,\cdots,y_t$線性表出， $y_1,\cdots,y_t$線性無關， $s > t$，則 $x_1,\cdots,x_s$線性相關

證：
由 $x_1,\cdots,x_s$能被 $y_1,\cdots,y_t$線性表出，則存在 $mn$個 $K$中的數 $k_{ij}$，使得
$\begin{cases} x_1=k_{11}y_1+\cdots+k_{1t}y_t\\ x_2=k_{21}y_1+\cdots+k_{2t}y_t\\ \cdots\\ x_s=k_{s1}y_1+\cdots+k_{st}y_t \end{cases}$令 $z_1,\cdots,z_s\in S$，而且
$z_1x_1+z_2x_2+\cdots+z_sx_s=0$由 $y_1,\cdots,y_t$線性無關，就獲得線性方程組
$\begin{cases} k_{11}z_1+k_{21}z_2+\cdots+k_{s1}z_s=0\\ k_{12}z_1+k_{22}z_2+\cdots+k_{s2}z_s=0\\ \cdots\\ k_{1t}z_1+k_{2t}z_2+\cdots+k_{st}z_s=0 \end{cases}$因爲 $s>t$，方程的未知量個數大於方程的個數，那麼，方程必有非零解，這就說明了 $x_1,\cdots,x_s$線性相關

推論2.1 $x_1,\cdots,x_s$和 $y_1,\cdots,y_t$是數域 $K$上 $n$維向量空間的兩個線性無關的向量組，而且等價，那麼 $s=t$

定義2.5 $x_1,\cdots,x_m$是數域 $K$上 $n$維向量空間的一個的向量組， $y_1,\cdots,y_s$是 $x_1,\cdots,x_m$的一個子向量組，若是知足：
(1) $y_1,\cdots,y_s$線性無關
(2) $x_1,\cdots,x_m$可由 $y_1,\cdots,y_s$線性表出
則稱 $y_1,\cdots,y_s$是 $x_1,\cdots,x_m$的極大線性無關組

任何向量組的極大線性無關組必定存在，但不惟一，但按照推論\ref{cor1}，極大線性無關組的向量個數必定是肯定的，稱極大線性無關組的向量個數是向量組的秩。

向量組的秩，就如圖向量組的維數，規定向量組最少能夠由其中多少個向量線性表出。

最後，咱們來給出向量組和線性方程組之間的聯繫。對線性方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$
實際上，咱們能夠表成
$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+a_nx_n=0$其中 $a_i=(a_{1i},\cdots,a_{mi})$，這樣，線性相關就至關以上齊次線性方程組由非零解，線性無關就至關於以上其次線性方程只有零解。

向量組的秩和矩陣的秩

接下來，咱們搭起向量組和矩陣之間的橋樑。向量組咱們能夠寫成矩陣的形式，將向量組元素按列排列就是列向量，按行排列就是行向量，那麼，任何矩陣均可以視爲一個行向量組和列向量組。下面，咱們來給出行向量組和列向量組的聯繫。行向量組的秩稱爲矩陣的行秩，列向量組的秩爲矩陣的列秩

定理2.3 初等行變換不改變矩陣的行秩

證：
設矩陣 $A$的行向量組爲 $x_1,x_2,\cdots,x_n$
交換第 $i$和 $j$行不改變行向量組的構成，交換第 $i$行和第 $j$行後行向量組等價。
將第 $i$行乘以一個非零常數 $k$，則行向量組變爲
$x_1^\prime=x_1,\cdots,x_{i-1}^\prime=x_{i-1}, x_i^\prime=kx_i,x_{i+1}^\prime=x_{i+1},\cdots,x_n^\prime=x_n$ $\begin{cases} x_1 = x_1^\prime \\ \cdots\\ x_{i-1} =x_{i-1}^\prime \\ x_i = \frac{1}{k}x_i^\prime\\ x_{i+1} = x_{i+1}^\prime\\ \cdots\\ x_n= x_n^\prime \end{cases}$
所以，先後的行向量組等價。
相似地，能夠驗證將 $i$行加上第 $j$行的 $k$倍後，先後的行向量組等價。
所以，初等行變換後矩陣的行向量組都等價，初等行變換不改變矩陣的行秩

固然，初等行變換也不改變矩陣的列秩。
定理2.4 初等行變換不改變矩陣的列秩

證：
設 $y_1,\cdots,y_m$是矩陣的列向量組，其極大線性無關組爲 $z_1,\cdots,z_s$。
再設 $z_i=(z_{i1},\cdots,z_{in})$，那麼方程組
$\begin{cases} z_{11}x_1+z_{21}x_2+\cdots+z_{s1}x_s = 0\\ z_{12}x_1+z_{22}x_2+\cdots+z_{s2}x_s=0\\ \cdots\\ z_{1n}x_1+z_{2n}x_2+\cdots+z_{sn}x_s=0 \end{cases}$只有零解，交換兩行至關於交換 $z_i$的兩個變元，至關於交換方程組的兩個方程，某行乘以 $k$倍至關於 $z_i$對應變元乘以 $k$倍，至關於線性方程組對應行乘以 $k$倍，將第 $j$行的 $k$倍加到第 $i$行至關於將第 $j$個份量的 $k$加到第 $i$個份量，至關於將第 $j$個方程的 $k$倍加到第 $i$個方程。
於是初等行變換後不改變極大線性無關組的線性無關性。只要證實變換後獲得的 $z_1^\prime,\cdots,z_s^\prime$是 $y_1^\prime,\cdots,y_n^\prime$的極大線性無關組便可。實際上，因爲 $z_1,\cdots,z_s$是 $y_1,\cdots,y_n$的極大線性無關組，對任意的 $i=1,\cdots,n$，存在 $K$中的常數 $x_1,\cdots,x_s$，使得：
$y_i=x_1z_1+\cdots+x_sz_s$設 $y_i=(y_{i1},\cdots,y_{in})$，寫成線性方程組形式爲
$\begin{cases} y_{i1}=z_{11}x_1+z_{21}x_2+\cdots+z_{s1}x_s\\ y_{i2}=z_{12}x_1+z_{22}x_2+\cdots+z_{s2}x_s\\ \cdots\\ y_{in}=z_{1n}x_1+z_{2n}x_2+\cdots+z_{sn}x_s \end{cases}$初等行變換至關於交換兩個方程，某個方程乘以 $k$倍，將某個方程的 $k$倍加到另外一個方程，初等行變換先後方程組都成立，所以， $z_1^\prime,\cdots,z_s^\prime$是 $y_1^\prime,\cdots,y_n^\prime$的極大線性無關組

推論2.2 初等列變換不改變矩陣的行秩和列秩

咱們知道，任何矩陣均可以經過初等行變換化爲行階梯狀矩陣。即 $i\le r$，第 $i$行第 $s_i$列爲 $1$，前面的列爲 $0$，後 $n-r$行全爲0，而且 $1\le s_1<\cdots<s_r\le n$。再經過初等列變換，能夠將矩陣化成以下的形式：
$\left[ \begin{matrix} 1& & & & & \\ &\cdots& & &0& \\ & & 1 & & & \\ & 0 & & &0& \end{matrix} \right]$以上矩陣稱爲矩陣的標準型，經過標準型，咱們就不可貴到

定理2.5 矩陣的行秩和列秩相等

咱們就稱矩陣的行秩或列秩爲矩陣的秩，矩陣 $A$的秩記爲 $r(A)$。以上過程也提供了求解矩陣的秩的方法，就是利用矩陣的初等變換，化爲階梯陣或者標準型。

線性方程組解的結構

對於線性方程組，咱們最感興趣的問題方程組有無解？若是有，有多少解，也就是解的個數。關於這個問題，咱們不妨將全部解視爲一個空間，考察解空間的結構。
咱們先來考察齊次線性方程組的解的結構。對齊次線性方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$咱們關心的問題是齊次線性方程組是否有非零解。咱們將全部的解記成 $n$維向量的形式，全體解的集合記爲 $V$，容易驗證：
(1) $x_1,x_2\in V$，則 $x_1+x_2\in V$
(2) $x\in V,k\in K$，則 $kx\in V$
也就是說， $V$對向量的加法和數乘是封閉的。咱們把 $V$稱爲齊次線性方程組的解空間。正如平面上全部向量可由兩個不共線的向量線性表出，空間上全部向量可由三個不共面的向量線性表出。解空間也有這麼一組基，全部解均可以表爲這組基的線性組合。
相似地，咱們就猜測 $V$是 $K$上齊次線性方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$的解空間，存在有限個線性無關的解向量 $\tau_1,\cdots,\tau_s$，方程組任意解可表爲該向量組的惟一的線性組合。

定理2.6 對 $K$上齊次線性方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$ $V$是其解空間， $A$是其係數矩陣， $r=r(A)$，則存在 $n-r$個線性無關的解向量 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$， $V$中任意向量可表爲 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$的線性組合

證：
設 $a_1,\cdots,a_n$是 $A$的列向量組。
若是 $r(A)=n$，方程組等價於
$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=0$由 $a_1,\cdots,a_n$線性無關，方程組僅有零解。
若是 $r<n$，不妨設 $a_1,\cdots,a_r$是 $a_1,\cdots,a_n$的極大線性無關組，那麼 $a_{r+1},\cdots,a_n$能被 $a_1,\cdots,a_r$線性表出，設
$\begin{cases} a_{r+1}=k_{11}a_1+\cdots+k_{r1}a_r\\ a_{r+2}=k_{12}a_1+\cdots+k_{r2}a_r\\ \cdots\\ a_n = k_{1(n-r)}a_1+\cdots+k_{r(n-r)}a_r \end{cases}$代入，就有
$\sum_{i=1}^r{(x_i+x_{r+1}k_{i1}+\cdots+x_nk_{i(n-r)})a_i} =0$再由 $a_1,\cdots,a_r$線性無關，就能夠獲得方程組 $\tag{1} \begin{cases} x_1+x_{r+1}k_{11}+\cdots+x_nk_{1(n-r)}=0\\ x_2+x_{r+1}k_{21}+\cdots+x_nk_{2(n-r)}=0\\ \cdots\\ x_r+x_{r+1}k_{r1}+\cdots+x_nk_{r(n-r)}=0 \end{cases}$對 $i=1,\cdots,n-r$，令
$\tau_i = (-k_{1i},\cdots,-k_{ri},0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$即第 $r+i$個變元取1，前 $r$個變元取 $(-k_{1i},\cdots,-k_{ri})$，其他變元取0。容易驗證 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$是方程組的解向量，而且線性無關。
任意線性方程組的解必然知足方程組(1)。這樣，設 $(x_1,\cdots,x_r,x_{r+1},\cdots,x_n)$是方程組的解，就有
$\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_r \end{matrix} \right)= \sum_{i=1}^{n-r}x_{r+i} \left( \begin{matrix} -k_{1i}\\ -k_{2i}\\ \cdots\\ -k_{ri} \end{matrix} \right)$因而
$\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_r\\ x_{r+1}\\ \cdots\\ x_{n} \end{matrix} \right) = \sum_{i=1}^{n-r}x_{r+i} \tau_i$即任意解向量均可以表爲 $\tau_1,\cdots,\tau_r$的線性組合

這就證實了基礎解系的存在性，而且由基礎解系的構造，任意齊次線性方程組任意兩個基礎解系的向量個數是一致的。而且，由上面的證實過程，咱們知道 $x_{r+1},\cdots,x_n$是能夠任取的，取定一組值， $x_1,\cdots,x_r$隨之肯定，就獲得齊次方程組的一組解，這 $n-r$個元就稱爲自由變元。總結上面的論述，就有：

定理2.7 齊次線性方程組的係數矩陣爲 $A$， $n$爲未知數個數， $r=r(A)$，則方程組有非零解的充要條件是 $r<n$，而且解空間的維數是 $n-r$

至此，咱們完美地解決了齊次線性方程組的求解問題。如今，咱們轉入到非齊次方程組的求解問題。對非齊次線性方程組
$\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$咱們記係數矩陣爲 $A$，增廣矩陣爲 $\overline{A}$。係數矩陣的列向量組爲 $a_1,\cdots,a_n$，常數項向量爲 $\beta$，方程組就等價於
$a_1x_1+\cdots+a_nx_n=\beta$也就是 $\beta$可否被 $a_1,\cdots,a_n$線性表出。

引理2.3 $x_1,\cdots,x_m\in K^n$是 $K^n$上線性無關的向量組， $\beta in K^n$，若是 $x_1,\cdots,x_m,\beta$線性相關，則存在惟一的一組 $k_1,\cdots,k_m\in K$，使得
$\beta = k_1x_1+\cdots+k_mx_m$

證：
因爲 $x_1,\cdots,x_m,\beta$，存在不全爲0的一組數 $k_1,\cdots,k_m,k_{m+1}$，使得
$k_1x_1+\cdots+k_mx_m+k_{m+1}\beta=0$若是 $k_{m+1}\neq 0$，那麼 $k_1,\cdots,k_m$不全爲0，而且
$k_1x_1+\cdots+k_mx_m=0$與 $x_1,\cdots,x_m$線性無關矛盾，所以 $k_{m+1}\neq 0$，即
$\beta = -\frac{1}{k_{m+1}}{k_1x_1+\cdots+k_mx_m}$這就證實了存在性，再證惟一性，假設
$\beta = k_{1}x_1+\cdots+k_mx_m$
$\beta = l_1x_1+\cdots+l_mx_m$那麼
$(k_1-l_1)x_1+\cdots+(k_m-l_m)x_m=0$由 $x_1,\cdots,x_m$線性無關，就有
$k_i=l_i\quad i=1,\cdots,m$

定理2.8 非齊次線性方程組的係數矩陣爲 $A$，增廣矩陣爲 $\overline{A}$，則方程組有解的充要條件是 $r(A)=r(\overline{A})$

證：
設 $A$的列向量組爲 $a_1,\cdots,a_n$，常數項向量爲 $\beta$
必要性，假設方程組有解，那麼 $\beta$能被 $a_1,\cdots,a_n$線性表出，所以， $a_1,\cdots,a_n,\beta$\和 $a_1,\cdots,a_n$等價，從而秩相等，所以 $r(A)=r(\overline{A})$
充分性，假設 $r(A)=r(\overline{A})$，反證法，假設 $\beta$不能被 $a_1,\cdots,a_n$線性表出，設 $a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime$是 $a_1,\cdots,a_n$的極大線性無關組，那麼 $a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime,\beta$必定線性無關，不然 $\beta$能被 $a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime$線性表出，與假設矛盾，這樣
$r(\overline{A})\ge r(A)+1>r(A)$又與 $r(A)=r(\overline{A})$矛盾，矛盾的根源在假設了 $\beta$不能被 $a_1,\cdots,a_n$線性表出，故 $\beta$能被 $a_1,\cdots,a_n$線性表出，齊次線性方程組有解

假設非齊次方程組有解，那麼解空間又是何種結構呢？設非齊次線性方程組的解空間是 $V$，若是 $x_1\in V$，對任意的 $x\in V$， $x-x_1$就是齊次方程的解。也就是說，假設 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$是齊次方程的基礎解系，那麼存在 $c_1,\cdots,c_{n-r}$，使得
$x=x_1+c_1\tau_1+\cdots+c_{n-r}\tau_{n-r}$反過來，對任意的常數 $c_1,\cdots,c_{n-r}$，向量
$x_1+c_1\tau_1+\cdots+c_{n-r}\tau_{n-r}$一定是非齊次方程的解，也就是說，任何非齊次方程的解等於某個特解+齊次方程的通解。至此，咱們已經明晰了非齊次方程和齊次方程解的結構，咱們對上面的論述，總結到以下定理：

定理2.9 非齊次線性方程的係數矩陣爲 $A$，增廣矩陣爲 $\overline{A}$，未知數個數爲 $n$，則
(1) $r(A)\neq r(\overline{A})$時方程組無解
(2) $r(A)=r(\overline{A})=n$時，方程組有惟一解
(3) $r(A)=r(\overline{A})<n$時，方程組有無窮多組解

至此，咱們完全回答瞭如何求解線性方程組，線性方程組有無解，有多少解的問題。而咱們回答這些問題的過程，是藉助向量空間而非直接對數的運算進行討論的，咱們也能夠看到，方程組有界仍是無解的問題，齊次方程有無非零解的問題，本質上是向量空間的向量組線性相關仍是線性無關，向量組的秩，以及某個向量可否被係數矩陣向量組線性表示的問題。可見，要解決一個代數方程的問題，咱們不必定要直接對數的運算進行討論。更多的是認清代數方程背後的抽象代數系統的代數結構，這就是代數學的核心與精髓。

矩陣論初步

矩陣的加法和數乘

上一章，咱們將矩陣視爲向量的組合，這一章，咱們把矩陣視爲單獨的元素，賦予矩陣一些運算，使矩陣也成爲一個代數系統。咱們將會看到，能"算"的，不只僅只有數和向量，甚至矩陣也能"算"。

咱們記全體 $K$上的 $m$行 $n$列矩陣爲 $M_{m,n}$，定義 $M_{m,n}$上的加法是對應位置的數相加，即 $\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn} \end{matrix} \right] =\\ \left[ \begin{matrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn} \end{matrix} \right]$矩陣的數乘定義爲 $k\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn} \end{matrix} \right]$由數域的運算規律，容易驗證，矩陣空間 $M_{m,n}$也有以下的八條運算規律：
(1) $A\in M_{m,n},B\in M_{m,n}$