Coding the Matrix (3)：矩陣

 

1. 矩陣與映射

矩陣和映射包含兩方面的關係：

1. 簡單：已知矩陣 M， 從向量 x 映射到 M * x. (注：矩陣與行向量的點乘）

2. 稍微複雜：已知映射 x ->M * x, 求矩陣 M。

第一種狀況直接運算就能夠獲得映射，就不詳細寫了，着重寫第二種狀況。

首先，假設 x 爲 n 維行向量， M*x 爲 m 維列向量，能夠知道 M 是 m × n 大小的矩陣。在點乘裏面，M 的列向量是基向量， x 向量的每一個份量是線性組合的係數，M 矩陣能夠寫成：

怎麼求出 v1, v2, ..., vn 向量呢？利用基向量帶入便可獲得：

例一 ：將一張圖片向右拉伸兩倍，即 (x, y) 變爲了 (2x, y), 它的變換矩陣能夠這樣求：

求得的變換矩陣就是 M = (v1, v2)

例二 ：將一張圖片逆時針旋轉 90 度，變換矩陣 M 能夠這樣求：

求得的變換矩陣也是 M = (v1, v2)

一樣，將圖像旋轉 theta 角度和平移操做 (translation) 也能夠用這個方法求出變換矩陣。

根據上述方法雖然能夠求出圖像平移的變換矩陣，可是若是咱們將 [0, 0] 左邊進行變換，發現原點仍是在原點，並無平移，結果顯然是錯誤的，這是什麼緣由呢？這裏就不得不說一說線性映射了。

 

2. 線性映射

線性映射須要知足兩個條件：

首先，左乘矩陣確定是一個線性映射。考慮上面的例子，圖像伸縮、旋轉都符合兩個條件，而圖像平移不符合，所以不是線性映射，不存在變換矩陣。更進一步，何時纔是一一映射呢？當矩陣 M 是一個滿秩矩陣，此時 M 可逆，該映射是一個 one-to-one and onto 的線性映射。