BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房間

BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房間

標籤（空格分隔）： OI BZOJ MATRIX-TREE定理 高斯消元

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Time Limit: 10 Sec
Memory Limit: 256 MB

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Description

你忽然有了一個大房子，房子裏面有一些房間。事實上，你的房子能夠看作是一個包含n*m個格子的格狀矩形，每一個格子是一個房間或者是一個柱子。在一開始的時候，相鄰的格子之間都有牆隔着。

你想要打通一些相鄰房間的牆，使得全部房間可以互相到達。在此過程當中，你不能把房子給打穿，或者打通柱子（以及柱子旁邊的牆）。同時，你不但願在房子中有小偷的時候會很難抓，因此你但願任意兩個房間之間都只有一條通路。如今，你但願統計一共有多少種可行的方案。
Input

第一行兩個數分別表示n和m。

接下來n行，每行m個字符，每一個字符都會是’.’或者’’，其中’.’表明房間，’’表明柱子。
Output

一行一個整數，表示合法的方案數 Mod 10^9

Sample Input

3 3

...

...

.*.

Sample Output

15
HINT

對於前100%的數據，n,m<=9

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Solution

MATRIX-TREE定理

一、G的度數矩陣\({D_G}\)是一個n*n的矩陣，而且知足：當i≠j時,\({D_{i,j}}\)=0；當i=j時，\({D_{i,j}}\)等於\({V_{i}}\)的度數。
二、G的鄰接矩陣\({A_{G}}\)也是一個n*n的矩陣，而且知足：若是\({V_{i}}\)、\({V_{j}}\)之間有邊直接相連，則\({A_{i,j}}\)=1，不然爲0。
定義G的Kirchhoff矩陣\(C_G\)爲\(C_G=D_G-A_G\)。
Matrix-Tree定理：G的全部不一樣的生成樹的個數等於其Kirchhoff矩陣\(C_G\)任何一個n-1階主子式（去掉第行第i列的新矩陣）的行列式的絕對值。

高斯消元解行列式時會出現除法運算，利用歐幾里德算法。
具體來講，高斯消元時進行初等變換，正常高斯消元把某行乘以某個數字加到另外一行上，使得目標行某個位置爲0，算出對應位置比例一次變換。在整數意義下，設對應位置數值爲a，b使得b爲0，則使b所在行+a所在行*b/a，(a,b)->(a,b mod a)。交換2行，作相似相同操做，直到a或b爲0中止。

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Code

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<bitset>
#include<vector>
using namespace std;
#define PA pair<int,int>
const int N=0,M=0;
int read()
{int s=0,f=1;char ch=getchar();
 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
 while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
 return s*f;
}
//smile please
int n,m,S,mo=1000000000;
int s[11][11];
char z[11][11];
int a[82][82];
int gs()
{
    S--;
    for(int i=1;i<=S;i++)
        for(int j=1;j<=S;j++)
            a[i][j]=(a[i][j]+mo)%mo;
    long long ans=1;
    for(int j=1;j<=S;j++)
       {for(int i=j+1;i<=S;i++)
            while(a[i][j])
              {long long t=a[j][j]/a[i][j];
               for(int k=j;k<=S;k++)
                   a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%mo+mo)%mo,
                   swap(a[i][k],a[j][k]);
               ans*=-1;
              }
        ans=ans*a[j][j]%mo;
       }
    return (ans+mo)%mo;
}
int main()
{
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%s",&z[i][1]);
    for(int i=0;i<=n+1;i++)
        for(int j=0;j<=m+1;j++)
            if(i==0||j==0||i==n+1||j==m+1)
              z[i][j]='*';
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(z[i][j]=='.')
              {s[i][j]=++S;
               if(z[i-1][j]=='.')a[s[i-1][j]][s[i][j]]=1;
               if(z[i-1][j]=='.')a[s[i][j]][s[i-1][j]]=1;
               if(z[i][j-1]=='.')a[s[i][j-1]][s[i][j]]=1;
               if(z[i][j-1]=='.')a[s[i][j]][s[i][j-1]]=1;
              }
    for(int i=1;i<=S;i++)
       for(int j=1;j<=S;j++)
          if(a[i][j]&&i!=j)
            a[i][i]++;
    printf("%d\n",gs());
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
}