隨機亂置算法詳解

我知道你們會各類花式排序算法，可是若是叫你打亂一個數組，你是否能作到成竹在胸？即使你拍腦殼想出一個算法，怎麼證實你的算法就是正確的呢？亂序算法不像排序算法，結果惟一能夠很容易檢驗，由於「亂」能夠有不少種，你怎麼能證實你的算法是「真的亂」呢？

因此咱們面臨兩個問題：

1. 什麼叫作「真的亂」？
2. 設計怎樣的算法來打亂數組才能作到「真的亂」？

這種算法稱爲「隨機亂置算法」或者「洗牌算法」。

本文分兩部分，第一部分詳解最經常使用的洗牌算法。由於該算法的細節容易出錯，且存在好幾種變體，雖有細微差別但都是正確的，因此本文要介紹一種簡單的通用思想保證你寫出正確的洗牌算法。第二部分講解使用「蒙特卡羅方法」來檢驗咱們的打亂結果是否是真的亂。蒙特卡羅方法的思想不難，可是實現方式也各有特色的。

PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，所有發佈在 labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照個人文章順序刷題，掌握各類算法套路後投再入題海就如魚得水了。

1、洗牌算法

此類算法都是靠隨機選取元素交換來獲取隨機性，直接看代碼（僞碼），該算法有 4 種形式，都是正確的：

// 獲得一個在閉區間 [min, max] 內的隨機整數
int randInt(int min, int max);

// 第一種寫法
void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    /******** 區別只有這兩行 ********/
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 從 i 到最後隨機選一個元素
        int rand = randInt(i, n - 1);
        /*************************/
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

// 第二種寫法
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

// 第三種寫法
    for (int i = n - 1 ; i >= 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

// 第四種寫法
    for (int i = n - 1 ; i > 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

分析洗牌算法正確性的準則：產生的結果必須有 n! 種可能，不然就是錯誤的。這個很好解釋，由於一個長度爲 n 的數組的全排列就有 n! 種，也就是說打亂結果總共有 n! 種。算法必須可以反映這個事實，纔是正確的。

咱們先用這個準則分析一下第一種寫法的正確性：

// 假設傳入這樣一個 arr
int[] arr = {1,3,5,7,9};

void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length(); // 5
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        int rand = randInt(i, n - 1);
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

for 循環第一輪迭代時，i = 0，rand 的取值範圍是 [0, 4]，有 5 個可能的取值。

for 循環第二輪迭代時，i = 1，rand 的取值範圍是 [1, 4]，有 4 個可能的取值。

後面以此類推，直到最後一次迭代，i = 4，rand 的取值範圍是 [4, 4]，只有 1 個可能的取值。

能夠看到，整個過程產生的全部可能結果有 n! = 5! = 5*4*3*2*1 種，因此這個算法是正確的。

分析第二種寫法，前面的迭代都是同樣的，少了一次迭代而已。因此最後一次迭代時 i = 3，rand 的取值範圍是 [3, 4]，有 2 個可能的取值。

// 第二種寫法
// arr = {1,3,5,7,9}, n = 5
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

因此整個過程產生的全部可能結果仍然有 5*4*3*2 = 5! = n! 種，由於乘以 1 無關緊要嘛。因此這種寫法也是正確的。

若是以上內容你都能理解，那麼你就能發現第三種寫法就是第一種寫法，只是將數組從後往前迭代而已；第四種寫法是第二種寫法從後往前來。因此它們都是正確的。

若是讀者思考過洗牌算法，可能會想出以下的算法，可是這種寫法是錯誤的：

void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 每次都從閉區間 [0, n-1]
        // 中隨機選取元素進行交換
        int rand = randInt(0, n - 1);
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

如今你應該明白這種寫法爲何會錯誤了。由於這種寫法獲得的全部可能結果有 n^n 種，而不是 n! 種，並且 n^n 不多是 n! 的整數倍。

好比說 arr = {1,2,3}，正確的結果應該有 3!= 6 種可能，而這種寫法總共有 3^3 = 27 種可能結果。由於 27 不能被 6 整除，因此必定有某些狀況被「偏袒」了，也就是說某些狀況出現的機率會大一些，因此這種打亂結果不算「真的亂」。

上面咱們從直覺上簡單解釋了洗牌算法正確的準則，沒有數學證實，我想你們也懶得證實。對於機率問題咱們可使用「蒙特卡羅方法」進行簡單驗證。

2、蒙特卡羅方法驗證正確性

洗牌算法，或者說隨機亂置算法的正確性衡量標準是：對於每種可能的結果出現的機率必須相等，也就是說要足夠隨機。

若是不用數學嚴格證實機率相等，能夠用蒙特卡羅方法近似地估計出機率是否相等，結果是否足夠隨機。

記得高中有道數學題：往一個正方形裏面隨機打點，這個正方形裏緊貼着一個圓，告訴你打點的總數和落在圓裏的點的數量，讓你計算圓周率。

這其實就是利用了蒙特卡羅方法：當打的點足夠多的時候，點的數量就能夠近似表明圖形的面積。經過面積公式，由正方形和圓的面積比值是能夠很容易推出圓周率的。固然打的點越多，算出的圓周率越準確，充分體現了大力出奇跡的真理。

相似的，咱們能夠對同一個數組進行一百萬次洗牌，統計各類結果出現的次數，把頻率做爲機率，能夠很容易看出洗牌算法是否正確。總體思想很簡單，不過實現起來也有些技巧的，下面簡單分析幾種實現思路。

第一種思路，咱們把數組 arr 的全部排列組合都列舉出來，作成一個直方圖（假設 arr = {1,2,3}）：

每次進行洗牌算法後，就把獲得的打亂結果對應的頻數加一，重複進行 100 萬次，若是每種結果出現的總次數差很少，那就說明每種結果出現的機率應該是相等的。寫一下這個思路的僞代碼：

void shuffle(int[] arr);

// 蒙特卡羅
int N = 1000000;
HashMap count; // 做爲直方圖
for (i = 0; i < N; i++) {
    int[] arr = {1,2,3};
    shuffle(arr);
    // 此時 arr 已被打亂
    count[arr] += 1；
}
for (int feq : count.values()) 
    print(feq / N + " "); // 頻率

這種檢驗方案是可行的，不過可能有讀者會問，arr 的所有排列有 n! 種（n 爲 arr 的長度），若是 n 比較大，那豈不是空間複雜度爆炸了？

是的，不過做爲一種驗證方法，咱們不須要 n 太大，通常用長度爲 5 或 6 的 arr 試下就差很少了吧，由於咱們只想比較機率驗證一下正確性而已。

PS：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，所有發佈在 labuladong的算法小抄，持續更新。建議收藏，按照個人文章順序刷題，掌握各類算法套路後投再入題海就如魚得水了。

第二種思路，能夠這樣想，arr 數組中全都是 0，只有一個 1。咱們對 arr 進行 100 萬次打亂，記錄每一個索引位置出現 1 的次數，若是每一個索引出現的次數差很少，也能夠說明每種打亂結果的機率是相等的。

void shuffle(int[] arr);

// 蒙特卡羅方法
int N = 1000000;    
int[] arr = {1,0,0,0,0};
int[] count = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < N; i++) {
    shuffle(arr); // 打亂 arr
    for (int j = 0; j < arr.length; j++) 
        if (arr[j] == 1) {
            count[j]++;
            break;
        }
}
for (int feq : count) 
    print(feq / N + " "); // 頻率

這種思路也是可行的，並且避免了階乘級的空間複雜度，可是多了嵌套 for 循環，時間複雜度高一點。不過因爲咱們的測試數據量不會有多大，這些問題均可以忽略。

另外，細心的讀者可能發現一個問題，上述兩種思路聲明 arr 的位置不一樣，一個在 for 循環裏，一個在 for 循環以外。其實效果都是同樣的，由於咱們的算法總要打亂 arr，因此 arr 的順序並不重要，只要元素不變就行。

3、最後總結

本文第一部分介紹了洗牌算法（隨機亂置算法），經過一個簡單的分析技巧證實了該算法的四種正確形式，而且分析了一種常見的錯誤寫法，相信你必定可以寫出正確的洗牌算法了。

第二部分寫了洗牌算法正確性的衡量標準，即每種隨機結果出現的機率必須相等。若是咱們不用嚴格的數學證實，能夠經過蒙特卡羅方法大力出奇跡，粗略驗證算法的正確性。蒙特卡羅方法也有不一樣的思路，不過要求沒必要太嚴格，由於咱們只是尋求一個簡單的驗證。