矩陣連乘 動態規劃

矩陣連乘 動態規劃

題目分析

題目描述：給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何肯定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依這次序計算矩陣連乘積須要的數乘次數最少。例如：

　　A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ;

最後的結果爲：((A1(A2A3))((A4A5)A6))  最小的乘次爲15125。

　　解題思路：能用動態規劃的一個性質就是最優子結構性質，也就是說計算A[i:j]的最優次序所包含的計算矩陣子璉A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最優的。動態規劃算法解此問題，可依據其遞歸式以自底向上的方式進行計算（即先從最小的開始計算）。在計算過程當中，保存已解決的子問題答案。每一個子問題只計算一次，而在後面須要時只要簡單查一下，從而避免大量的重複計算，最終獲得多項式時間的算法。咱們能夠根據下面這個公式來計算結果。其中p[i-1]表示的是第i個矩陣的行數,p[k]表示i:k矩陣合起來後最後獲得的列數，p[j]是k+1:j合起來後獲得的列數。這個部分的計算方法其實就是計算兩個矩陣相乘時總共的乘次數，本身琢磨琢磨就明白了。

• 遞推公式
  

• 計算過程
  

代碼實現

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX 100


int matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s)
{
	//m[][]最小乘次數
	//s[][]最小乘數時的斷開點
	int i, j, r, k;

	for (i = 0; i < n; i++)   //單一矩陣的最小乘次都置爲0
	{
		m[i][i] = 0;
	}

	for (r = 2; r <= n; r++)  //r爲連乘矩陣的個數
	{
		for (i = 0; i <= n - r; i++)   //i表示連乘矩陣中的第一個
		{
			j = i + r - 1;         //j表示連乘矩陣中的最後一個
			m[i][j] = 99999;
			for (k = i; k <= j - 1; k++)  //在第一個與最後一個之間尋找最合適的斷開點，注意，這是從i開始，即要先計算兩個單獨矩陣相乘的乘次
			{
				int tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i] * p[k + 1] * p[j + 1];
				if (tmp < m[i][j])
				{
					m[i][j] = tmp;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
	return m[0][n - 1];
}

void print_chain(int i, int j, char **a, int **s)
{    //遞歸的方式來把最小乘數的表達式輸出

	if (i == j)
	{
		printf("%s", a[i]);
	}
	else
	{
		printf("(");
		print_chain(i, s[i][j], a, s);
		print_chain(s[i][j] + 1, j, a, s);
		printf(")");
	}
}

int main()
{
	//min_part[i][j]存儲的是i+1到j+1的最小乘次，由於是從0開始
	//min_point[i][j]存儲的是i+1到j+1之間最小乘次時的分割點
	int *p, **min_part, **min_point;
	char **a;
	int n = 6, i;
	int ret;

	p = (int *)malloc((n + 1)*sizeof(int));
	a = (char **)malloc(n*sizeof(char*));
	min_part = (int **)malloc(n*sizeof(int *));
	min_point = (int **)malloc(n*sizeof(int *));

	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		min_part[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));
		min_point[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));
		a[i] = (char *)malloc(n*sizeof(char));
	}

	p[0] = 30;   //第一個矩陣的行數
	p[1] = 35;     //第二個矩陣的行數
	p[2] = 15;     //……
	p[3] = 5;     //……    
	p[4] = 10;     //……
	p[5] = 20;     //第六個矩陣的行數
	p[6] = 25;     //第六個矩陣的列數

	a[0] = "A1";
	a[1] = "A2";
	a[2] = "A3";
	a[3] = "A4";
	a[4] = "A5";
	a[5] = "A6";

	ret = matrix_chain(p, n, min_part, min_point);
	printf("Minest times:%d.\n", ret);
	print_chain(0, n - 1, a, min_point);

	free(p);
	free(min_part);
	free(min_point);
	free(a);

	return 0;
}

Reference

• 0010算法筆記——【動態規劃】矩陣連乘問題