2018.10.24【NOIP練習】Leo的組合數問題（組合數學）（莫隊）

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解析：

老是忍不住要吐槽一句，這題面也太長了吧。。。

首先，確定要把咱們要求的東西推成一個式子，否則怎麼可能作題。。。

設 $f_i$表示當前以 $i$爲最大值的方案數。
那麼 $i$以後的數顯然是單調遞減且連續，方案數爲 $1$。
考慮前 $i-1$個位置，放法數就是 $\sum_{j=1}^{i-1}f_j$
因此咱們如今獲得遞推式 $f_i=\sum_{j=1}^{i-1}f_j$， $f_1=1$。

轉換一下 $f_i=\sum_{j=1}^{i-1}f_j=\sum_{j=1}^{i-2}f_j+f_{i-1}=2f_{i-1}$

因此獲得通項公式 $f_i=2^{i-1}$

那麼詢問的答案就是 $Q(n,m)=\sum_{i=1}^{n}C_{m}^i\times 2^{i-1}$
數據範圍 $1e5$，果斷莫隊。
令 $l=n,r=m$
咱們只須要找到根據 $l,r$更新答案的較小複雜度方法就好了
幸運的是，這個式子在 $l\pm 1$和 $r \pm 1$的時候都有 $O(1)$的轉移方式。

首先 $l$的轉移：
$Q(l-1,r)=Q(l,r)-C_r^l\times 2^{l-1}$ $Q(l+1,r)=Q(l,r)+C_r^{l+1}\times 2^{l}$
這個轉移十分顯然，就是直接根據表達式轉移。

而 $r$的轉移須要一點技巧：
怎麼求 $Q(l,r+1)=\sum_{i=1}^lC_{r+1}^{i}\times 2^{i-1}$

因爲帕斯卡三角形上的組合數遞推公式 $C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$。咱們把上面這個式子拆開獲得 $\sum_{i=1}^{l}(C_r^i+C_r^{i-1})\times 2^{i-1}=\sum_{i=1}^{l}C_r^i\times 2^{i-1}+2\times\sum_{i=1}^{l-1}C_r^{i}\times2^{i-1}+C_r^0\times 2^0$

因此其實就是 $Q(l,r+1)=Q(l,r)+2\times Q(l-1,r)+C_r^0\times 2^0$
把剛纔退出來的 $Q(l-1,r)$的式子代進來獲得
$Q(l,r+1)=3\times Q(l,r)-C_r^l\times 2^l+C_r^0\times 2^0$
利用這個式子能夠推出 $r-1$的狀況： $Q(l,r-1)=\frac{Q(l,r)+C_{r-1}^l\times 2^l-C_r^0\times 2^0}{3}$

那麼就能夠上莫隊了。

trick:

注意能將 $r$變大的時候儘可能先移動 $r$，不然先移動 $l$，避免轉移通過非法組合數就 $gg$了。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const
 
inline int getint(){
	re int num;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num;
}

inline void outint(long long a){
	static char ch[23];
	if(a==0)pc('0');
	while(a)ch[++ch[0]]=a-a/10*10,a/=10;
	while(ch[0])pc(ch[ch[0]--]^48);
}

cs int N=100005;
cs int mod=19260817;

int fac[N],inv[N],ifac[N];
int pow2[N];
inline int C(int n,int m){
	return 1ll*fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}
int l=1,r=1,now=1;
inline void ll(){now=(1ll*now-1ll*C(r,l)*pow2[l-1]%mod+mod)%mod;--l;}
inline void lr(){now=(1ll*now+1ll*C(r,l+1)*pow2[l]%mod)%mod;++l;}
inline void rl(){now=(1ll*now+1ll*C(r-1,l)*pow2[l]%mod-1ll*C(r,0)*pow2[0]%mod+mod)%mod*inv[3]%mod;--r;}
inline void rr(){now=(3ll*now-1ll*C(r,l)*pow2[l]%mod+1ll*C(r,0)*pow2[0]%mod+mod)%mod;++r;}

struct Query{int l,r,id;}Q[N];
int ans[N],block[N],B,bcnt;
inline bool cmp(cs Query &a,cs Query &b){
	if(block[a.l]^block[b.l])return block[a.l]<block[b.l];
	return (block[a.l]&1)^(a.r>b.r);
}
int n,m,q;
int maxn;
signed main(){
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=ifac[0]=ifac[1]=pow2[0]=1;
	pow2[1]=2;
	for(int re i=2;i<N;++i){
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod-mod/i*i]%mod;
		ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
		pow2[i]=(pow2[i-1]<<1)%mod;
	}
	q=getint();
	for(int re i=1;i<=q;++i){
		Q[i].id=i;
		Q[i].r=getint();
		Q[i].l=getint();
		maxn=max(Q[i].r,maxn);
	}
	B=sqrt(maxn);bcnt=1;
	for(int re i=1;i<=maxn;++i){
		block[i]=bcnt;
		if(i%B==0)++bcnt;
	}
	sort(Q+1,Q+q+1,cmp);
	for(int re i=1;i<=q;++i){
		if(Q[i].r>=r){
			while(r<Q[i].r)rr();
			while(r>Q[i].r)rl();
			while(l<Q[i].l)lr();
			while(l>Q[i].l)ll();
		}
		else{
			while(l<Q[i].l)lr();
			while(l>Q[i].l)ll();
			while(r>Q[i].r)rl();
			while(r<Q[i].r)rr();
		}
		ans[Q[i].id]=now;
	}
	for(int re i=1;i<=q;++i)outint(ans[i]),pc('\n');
	return 0;
}