數論倒數總結

數論倒數總結

1、原理

求解\(a*x≡1(\mod p)\)中的\(x\)spa


方法一:擴展歐幾里德定理blog

將方程變爲:\(a*x+b*y=1\)便可。get


方法二:歐拉定理class

\((a,n)=1\),有\(a^{\phi(n)}≡1(\mod n)\)基礎

請注意該方法的使用條件。原理


方法三:費馬小定理擴展

\(a^p≡a(\mod p)\)(\(p\)爲質數)方法

請注意該方法的使用條件。總結


2、基礎應用

  • 求解\(1\)~\(n\)全部數關於\(p\)的數論倒數。co

    考慮遞推:\(p=k*i+r\),則有:\(k*i+r≡0(\mod p)\),兩式同時乘以\(i^{-1}\)\(r^{-1}\),得:\(i^{-1}≡-k*r^{-1}(\mod p)\),線性遞推。

  • 求解階乘的全部數論倒數。

    考慮使用費馬小定理求解\(n!^{-1}\),而後有:\(i!^{-1}≡(i+1)^{-1}*(i+1)\)

參考資料:https://www.luogu.com.cn/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan

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