數論篇4——逆元（數論倒數）

問題引入

對於取餘運算，有一下一些性質：

 

可是惟獨除法是不知足的：

 

 爲何除法錯的呢？很好證實：

 

 而對於一些題目，咱們必須在中間過程當中進行求餘，不然數字太大，電腦存不下，那若是這個算式中出現除法，咱們就須要逆元了，將除法運算轉換爲乘法運算。

逆元

定義：

 

對於c，能夠說是特殊意義上的倒數，咱們能夠理解爲要求在0,1,2……p-1之間找一個數，是的這個數和a相乘後再取模p，獲得的結果爲1。

如今就要在回到剛纔的問題了，除以一個數等於乘上這個數的倒數，在除法取餘的狀況下，就是乘上這個數的逆元，即：

 

這樣就把除法，徹底轉換爲乘法了。

逆元的性質

惟一性

給定一個數a，若存在模p下的逆元c，c必定惟一。

自反性

c是a的逆元，a也是c的逆元。

逆元的求解

對於逆元的求解，若是n較小的話，是容易算出來的，例如，求3在模26下的逆元：

可是當n很是大的時候，手動求解就很是困難了。

擴展歐幾里得算法（extend_gcd）

$a\cdot a^{1}\equiv 1(mod\ b)$

模數能夠不爲質數，知足gcd(a,b)=1便可

定義：

對於逆元的表達式能夠作一些變換：

 

 當gcd(a,b)=1時，代入extend_gcd(a,b,x,y)，獲得的非負的x值，就是上面的$a^-1$

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int q = extend_gcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return q;
}

費馬小定理

只適用於模數爲質數的狀況，若是模數不是質數，能夠變換一下，用歐拉定理。

若是p是一個質數，且a不是p的倍數則有 

$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$

根據同餘除法定理，兩邊同除以a

$a^{p-2}\equiv a^{-1}(mod\ p)$

因此

 $a^{-1}= a^{p-2}(mod\ p)$

用快速冪求一下，複雜度O(logn)

線性遞推

只適用於模數爲質數的狀況

當p爲質數時有$$a^{-1}=(p-[p/a])\cdot (p\%a)^{-1}\%p$$

證實：

 

1的逆元就是1，這個方法複雜度是$O(n)$，但並非說比前兩個差，它能夠在O(n)的複雜度內算出n個數的逆元。

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

階乘遞推求逆元

只適用於模數爲質數的狀況

設 $f(i)=inv(i\ !)$

則根據：$f(i-1)=\frac{1}{\ (i-1)\ !}=\frac{1}{i\ !}\times i =f(i)\times i$

有：$f(i-1) = f(i)\times i$

假設要求 $[1,n]$ 中全部數的逆元，先求得 $[1,n]$ 中全部數的階乘

能夠用 費馬小定理 求得 $f(n)$ 的值，以後遞推出 $f(1 \sim n)$ 的值

可是 $inv(1! \sim n! )$ 並非咱們想要的答案，須要繼續轉化。

根據：$inv(i)=\frac{1}{i}=\frac{1}{i\ !}\times (i-1)\ ! = inv(i!)\times (i-1)!$

最終的轉換式 :$$inv(i) = inv(i!) \times(i-1)\ ! $$

時間複雜度也是$O(n)$

    int N,P;
    fact[0] = 1;
    //mod P 求階乘
    for (int i = 1; i <= N; i++) 
        fact[i] = fact[i - 1] * i % P;
    //求N! mod p的逆元
    inv[N] = quickPower(fact[N], P - 2, P) % P;
    //遞推求N!~1! mod p的逆元
    for (int i = N - 1; i >= 1; i--)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % P;
    //轉換輸出
    for (int i = 1; i <= N; i++) 
        printf("%d\n", (inv[i] * fact[i - 1]) % P); 

 逆元的應用

費這麼大周章求出來的逆元究竟有什麼用呢？

將除法轉換爲乘法

已知$n$爲任意整數，$(a,p)=1$，則$n\div a\ mod\ p = n\cdot a^{-1}\ mod\ p$，

好比 $12\div 4\ mod\ 7 = 12\cdot 2\ mod\ 7=3$。

具體使用狀況就能夠是上面提到的，一個取餘運算式中間出現了除號。

但若是式子中沒有取餘呢？那本身取一個唄，取一個特別大的素數（可是不能太大，推薦取1e9+7，好記，快速冪也不會爆long long範圍，能夠運算全部int範圍的數據）

測試代碼：

const LL P = 1e9 + 7;

LL quickPower(LL a, LL n, LL p) {
    LL res = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) {
            res = (res % p * a % p) % p;
        }
        a = (a % p * a % p) % p;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    LL _a = quickPower(8, P - 2, P);
    LL res = (72 * _a) % P;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

注意如下幾點：

• 若是真的要計算的數字特別大，可能須要考慮使用快速乘（龜速乘）。
• 要注意實際是否會出現除不盡的狀況，由於分數取模比較特殊，算出來的結果不是你想要的答案。
• 具體使用看狀況吧，俺還沒碰見過。。。