積性函數與狄利克雷卷積（未完待更）

<h1>積性函數</h1> <h2>定義</h2> <p>積性函數是指一個定義域爲正整數 $N$ 的算術函數 $f(n)$ ， 有以下性質：$f(1) = 1$ ，且 $\forall a,b \in \mathbb{N}^{+} \quad $ 且 $\quad \gcd(a,b) = 1$ ，有 $f(ab) = f(a) f(b)$。</p> <p>若對於任意的 $a,b$ ， $f$ 均知足上述性質，則稱此函數爲徹底積性函數。</p> <p>積性函數舉例：</p> - $\varphi (n)$－歐拉$\varphi$函數，計算與$n$ 互質的正整數之數目

• $\mu (n)$－默比烏斯函數，關於非平方數的質因子數目

• $\gcd(n,k)$ －最大公因數，當 $k$ 固定的狀況

• $\sigma _{k}(n)$ - 除數函數，$n$ 的全部正因數的 $k$ 次冪之和，當中 $k$ 可爲任何複數。在特例中有：

  $\sigma_0(n) = d(n)$ - $n$ 的正因數數目

  $\sigma _{1}(n) = \sigma (n)$ - $n$ 的全部正因數之和

• $I(n)$ －不變的函數，定義爲 $I(n) = 1$ （徹底積性）

• $Id(n)$ －單位函數，定義爲 $Id(n) = n$ （徹底積性）

• $Id_k(n)$ －冪函數，對於任何複數、實數 $k$，定義爲 $Id_k(n) = n^k$ （徹底積性）

• $\varepsilon(n)$ －定義爲：若 $n = 1，\varepsilon(n) = 1$；若 $n > 1，\varepsilon(n) = 0$ 。有時稱爲「對於狄利克雷卷積的乘法單位」（徹底積性）

• $(n/p)$ －勒讓德符號，$p$ 是固定質數（徹底積性）

• $\lambda(n)$ －劉維爾函數，關於能整除 $n$ 的質因子的數目

• $\gamma(n)$ - 定義爲 $\gamma(n) = (-1) ^ {\omega(n)}$，在此加性函數 $\omega(n)$ 是不一樣能整除n的質數的數目

<h2>性質</h2> <p>積性函數的值徹底由質數的冪決定，這和算術基本定理有關。</p> <p>便是說，若將 $n$ 表示成質因數分解式如 ${p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}} \cdots {p_{k}}^{a_{k}}$，則 $f(n) = f({p_{1}}^{a_{1}})f({p_{2}}^{a_{2}}) \cdots f({p_{k}}^{a_{k}}) $。</p> <p>若f爲積性函數且 $f(p^{n}) = f(p)^{n}$，則 $f$ 爲徹底積性函數。</p> <p>那麼，這玩意跟狄利克雷卷積有什麼關係呢？</p> <p>這裏有一條：兩個積性函數的狄利克雷卷積一定是積性函數。所以，以卷積爲羣的運算，全部積性函數組成了一個子羣。</p>

<h2>常見積性函數篩法</h2>

注意到積性函數有一條十分重要的性質：任意積性函數均可以用線性篩 $O(n)$ 求得 。

不知道線性篩的，請出門右轉。

<h1>Möbius 函數</h1> <h2>定義</h2> <p>莫比烏斯函數（$M\ddot{o}bius$ 函數） $\mu$ 是指如下的函數：</p> <p>設正整數 $N$ 按照算數基本定理分解質因數爲 $N = {p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}} \cdots {p_{m}}^{a_{m}}$ ，定義函數：</p> <p>$$\mu(N) = \begin{cases}0 & \exists i \in \left[1,m \right] \ ,c_i > 1 \\ 1 & m\equiv 0\pmod{2} \ ,\forall i \in \left[1,m\right] \ ,c_i = 1 \\ -1 & m\equiv 1\pmod{2} \ ,\forall i \in \left[1,m\right] \ ,c_i = 1\end{cases}$$ </p>

注：若 $\mu(a) = 0$ ，則 $a$ 是某個徹底平方數的整數倍。

<p>$M\ddot{o}bius$ 函數也可表示爲如下形式：</p> <p> $$\mu(N) = \delta^{\Omega(N)}_{\omega(N)} \lambda(N)$$ </p> <p>其中 $\delta$ 是 $Kronecker$ 符號， $\lambda(N)$ 是劉維爾函數， $\omega(N)$ 是不一樣的素因子的數量 $Ñ$ ，和 $\Omega(N)$ 是素因子數 $Ñ$，具備多重性計數。（摘自百度）</p>

看不懂是否是，我也看不懂，$\cdots$ 有興趣的讀者能夠本身上百度瞭解瞭解。

<p>函數的前 $50$ 個值以下：</p>

<p></p> <h2>性質</h2> - $M\ddot{o}bius$ 函數是積性的（即，只要 $\gcd(a,b) = 1$，$\mu(ab) = \mu(a) \mu(b)$）

• $\sum_{d \mid N}\mu(d) = \begin{cases}1 & n = 1\ 0 & n \ne 1\end{cases}$

  上述等式可推出重要的莫比烏斯反演公式，而且是 $\mu$ 在乘法和算術函數理論中具備相關性的主要緣由。

  $\mu(n)$ 在組合學中的其餘應用與組合羣和組合枚舉中 $Pólya$ 枚舉定理的使用有關。（摘自百度，這些內容固然如今不會寫，之後有空再寫）