線性篩,積性函數,狄利克雷卷積,常見積性函數的篩法

一些性質

• 積性函數：對於函數\(f(n)\)，若知足對任意互質的數字\(a,b，a*b=n\)且\(f(n)=f(a)f(b)\)，那麼稱函數f爲積性函數。
• 狄利克雷卷積：對於函數f,g,定義它們的卷積爲
  \((f∗g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。
  狄利克雷卷積知足不少性質：
  交換律：\(f∗g=g∗f\)
  結合律：\((f∗g)∗h=f∗(g∗h)\)
• 兩個積性函數的狄利克雷卷積仍爲積性函數。
• 積性函數均可以用線性篩篩出來

怎麼篩？
\(通常來說，只要知道f(P^k)，P爲質數，就能夠知道怎麼篩了\)
\(簡單來說就是推一下\)
\(通俗來說就是手玩一下或者打表找規律\)
若是你一眼就看出來了那就只能Orz了

幾道題

Bzoj4804: 歐拉心算
BZOJ2693jzptab
BZOJ4407 :於神之怒增強版

一些常見積性函數的篩法

莫比烏斯函數\(\mu(n)\)

這個比較簡單，\(\mu(1)=1\)，\(i\)爲質數時\(\mu(i)=-1\)，最小質因子篩到它的時候正負號反過來，不然爲\(0\)

isprime[1] = 1; mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i){
        if(!isprime[i]){  prime[++num] = i; mu[i] = -1;  }
        for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
            isprime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            else{  mu[i * prime[j]] = 0; break;  }
        }
    }

乘法逆元\(inv(i)\)

求一個數在模p意義下的逆元
設\(p=i*x+j\)，則\(i*x+j\equiv0(mod\ p)\)
同時除以\(i*j，因此x*j^{-1}+i^{-1}\equiv0(mod\ p)\)
移項\(i^{-1}\equiv-x*j^{-1}(mod\ p)\)
而\(x=p\ div\ i，j=p\ mod\ i\)
因此\(inv(i)=-inv(p\%i)*(p/i)\)
不用篩了，遞推就能夠了

inv[1] = 1; for(int i = 2; i < p; ++i) inv[i] = -(p / i) * inv[p % i] % p + p) % p;

補充階乘逆元的遞推，求出\(inv(n)\)，\(inv(i)=inv(i+1)*(i+1)\)倒着來就好了

fac[0] = inv[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i] * i % p;
inv[n] = Getinv(fac[n]); //Exgcd or Fermat
for(int i = 1; i < n; i++) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;

歐拉函數\(\varphi(n)\)

公式:
\(n分解成若干質數p的乘積n=\Pi p_i^{a_i}\)
\(\varphi(n)=n*\Pi(1-\frac{1}{p_i})\)

那麼\(\varphi(1)=1\)，\(n爲質數時\varphi(n)=n-1\)，最小質因子篩到它時乘上質因子\(p-1\)，不然乘上這個質數

isprime[1] = 1; phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i){
        if(!isprime[i]){  prime[++num] = i; phi[i] = i - 1;  }
        for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
            isprime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            else{  phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;  }
        }
    }

約數個數\(d(n)\)

公式：
仍是分解
\(d(n)=\Pi(a_i + 1)\)

咱們記錄下每一個數最小質因子的指數記爲\(pred\)就行了

isprime[1] = 1; d[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; ++i){
    if(!isprime[i]){  prime[++num] = i; d[i] = 2; pred[i] = 1;  }
    for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
        isprime[i * prime[j]] = 1;
        if(i % prime[j]){
            d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]];
            pred[i * prime[j]] = 1;
        }
        else{
            pred[i * prime[j]] = pred[i] + 1;
            d[i * prime[j]] = d[i] / (pred[i] + 1) * (pred[i] + 2);
            break; 
        }
    }
}

約數的和\(\sigma(n)\)

公式：
又是分解
\(\sigma(n)=\Pi(\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j)\)

這個就很煩了。。。

也能夠篩，開兩個個數組，一個\(powd\)記錄每一個數最小質因子的指數次冪，另外一個\(sumd\)記錄每一個數最小質因子\(\sum_{i=0}^{a}p^i\)就能夠了

咱們把這個鬼裏鬼氣的\(\sigma寫成f\)

isprime[1] = 1; f[1] = mu[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; ++i){
    if(!isprime[i]){
        prime[++num] = i; f[i] = i + 1; mu[i] = -1;
        sumd[i] = 1 + i; powd[i] = i;
    }
    for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
        isprime[i * prime[j]] = 1;
        if(i % prime[j]){
            sumd[i * prime[j]] = 1 + prime[j];
            powd[i * prime[j]] = prime[j];
            f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]];
        }
        else{
            powd[i * prime[j]] = powd[i] * prime[j];
            sumd[i * prime[j]] = sumd[i] + powd[i * prime[j]];
            f[i * prime[j]] = f[i] / sumd[i] * sumd[i * prime[j]];
            break;
        }
    }
}

完結