狄利克雷卷積

數論函數

陪域：包含值域的任意集合

數論函數：定義域爲正整數，陪域爲複數的函數

積性函數：對於函數$f(n)$，若存在任意互質的數$a,b$，使得$a*b=n$,而且$f(n)=f(a)*f(b)$，那麼函數$f(n)$被稱爲積性函數

常見積性函數：

$1(i)=1$

$f(i)=i$

$\varphi \left( i\right)$(歐拉函數)

$\mu \left( i\right)$(莫比烏斯函數)

拓展：徹底積性函數：對於函數$f(n)$，若存在任意數$a,b$(這裏取消掉了互質的限制)，使得$a*b=n$,而且$f(n)=f(a)*f(b)$，那麼函數$f(n)$被稱爲徹底積性函數

狄利克雷卷積

定義函數$f,g$爲數論函數

則他們的狄利克雷卷積能夠表示爲:$f*g$,

設$h=f*g$

$$h\left( n\right) =\sum _{d|n}f\left( d\right) g\left( \dfrac {n}{d}\right)$$

顯然,$h$也是積性函數

證實：

設$n=a*b$，且$gcd(a, b) = 1$

$$h(n)=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1d_2)g(\dfrac {a}{d_1}\dfrac {b}{d_2})$$

$$=\sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1)f(d_2)g(\dfrac {a}{d_1})g(\dfrac {b}{d_2})$$

$$=\sum_{d_1|a}f(d_1)g(\dfrac {a}{d_1})\sum_{d_2|b}f(d_2)g(\dfrac {b}{d_2})$$

$$=h(a)*h(b)$$

運算法則

交換律：$f * g = g * f$

結合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$

分配率：$f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f$

若是$f, g$爲積性函數，那麼$f * g$也是積性函數

注意最後一點很是重要！！