微積分筆記

時間 2019-11-11

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前置例題

1.app

S1=1+2+4+8+16+···
   2S1=  2+4+8+16+···
2S1-S1=-1
    S1=-1

2.函數

x=0.9999···
10x=9.9999···
 9x=9
  x=1

函數的導數和微分

函數的不定積分和定積分

知識點1　平均變化率

通常地，已知函數$y=f\left( x\right)$,$x_{0},x_{1}$是定義域內不一樣的兩點，記$\Delta x=x_{1}-x_{0}$,$\Delta y=y_{1}-y_{0}=f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{0}\right) =f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right)$。
則當$\Delta x\neq 0$時，商$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$稱做函數$y=f\left( x\right)$在區間$\left[ x_{0},x_{0}+\Delta x\right]$或$\left[ x_{0}+\Delta x,x_{0}\right]$的平均變化率。spa

例1

求函數$y=x^{2}$在區間$\left[ x_{0},x_{0}+\Delta x\right]$的平均變化率。
解：$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {\left( x_{0}+\Delta x\right) ^{2}-x^{2}_{0}}{\Delta x}=\Delta x+2x_{0}$code

例2

求函數$y=\dfrac {1}{x}$在區間$\left[ x_{0},x_{0}+\Delta x\right]$的平均變化率。
解：$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {\dfrac {1}{x_{0}+\Delta x}-\dfrac {1}{x_{0}}}{\Delta x}=-\dfrac {1}{x_{0}\left( x_{0}+\Delta x\right) }$blog

知識點2　瞬時變化率

若是$\Delta x$趨近於0，平均變化率$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$趨近於常數l，那麼稱常數l爲函數$y=f\left( x\right)$在點$x_{0}$處的瞬時變化率，記做：
當$\Delta x\rightarrow 0$時，$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}\rightarrow l$
也記做\[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}= l\]pm2

知識點3　

函數$y=f\left( x\right)$在點$x_{0}$處的瞬時變化率，一般稱爲$f\left( x\right)$在點$x_{0}$處的導數。
記做：$f'\left( x_{0}\right)$
即\[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}= f'\left( x_{0}\right)\]table

知識點4　導數

若是$y=f\left( x\right)$在開區間$\left( a,b\right)$內每一點都是可導的，區間$\left( a,b\right)$內的每個值都對應一個肯定的導數$f'\left( x\right)$，稱區間$\left( a,b\right)$內$f'\left( x\right)$可構成一個新的函數，稱爲$y=f\left( x\right)$的導函數。
記做：$f'\left( x\right)($或$ y'$或$y'x)$,通稱爲導數。class

例3

火箭豎直向上發射，熄火時速度達到100m/，試問熄火多長時間，火箭的速度爲0。
解：
$h\left( t\right) =100t-\dfrac {1}{2}gt^{2}$
平均變化率(平均速度)：$\dfrac {h\left( t+\Delta t\right) -h\left( t\right) }{\Delta t}=100-\dfrac {1}{2}g\Delta t-gt$
瞬時速度：$\Delta t\rightarrow 0$時
$\dfrac {h\left( t+\Delta t\right) -h\left( t\right) }{\Delta t}=100-gt$
令$100-gt=0,g=9.8$
$t=\dfrac {100}{g}\approx10.2s$lambda

例4

圓，面積$S=\pi r^{2}$，周長$l=2\pi r$
解：\[S'\left( x\right) =\lim _{\Delta r\rightarrow 0}\dfrac {S\left(r+\Delta r\right) -S\left( r\right) }{\Delta r}\]
\[ =\lim _{\Delta r\rightarrow 0}\dfrac {\pi \left( r-\Delta r\right) ^{2}-r^{2}}{\Delta r}\]
\[ =\lim _{\Delta r\rightarrow 0}\dfrac {2\pi r\Delta r+\pi \Delta r^{2}}{\Delta r}\]
\[ =\lim _{\Delta r\rightarrow 0} {(2\pi r+\pi \Delta r)}=2\pi r\]im

知識點5　導數的幾何意義

$A\left( x_{0},f\left( x_{0}\right) \right) , B\left( x_{0}+\Delta x,f\left( x_{0}+\Delta x\right) \right)$
AB:割線（平均變化率）：$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$
切線（瞬時變化率）：$\Delta x\rightarrow 0$，$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\rightarrow k$
$B\rightarrow A$（轉動）
割線$AB\rightarrow$切線$ AB’$
割線斜率$\rightarrow$切線斜率
\[f\left( x_{0}\right)=k=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x} \]
函數在一點的切線的斜率就是函數在這點的導數：導數=斜率

例5

求拋物線$y=x^{2}$在點$\left( x_{0},f\left( x_{0}\right) \right)$切線的斜率。

解：求導數的幾何意義
知\[k=f\left( x_{0}\right)\]
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x} \]
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\left( x_{0}+\Delta x\right) ^{2}-x^{2}_{0}}{\Delta x}\]
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta x+2x_{0})\]
\[=2x_{0}\]
求在（0,0）處切線的斜率
\[f\left( x\right)=k=0\]

例6

求雙曲線$y=\dfrac {1}{x}$在點
$\left( 2,\dfrac {1}{2}\right)$的切線方程
方程$y-y_{0}=k\left( x-x_{0}\right)$
$k=-\dfrac {1}{x^{2}}=-\dfrac {1}{4}$
$y=-\dfrac {1}{4}x+1$

知識點6　導數的運算

(1)常值函數的導數
$y=f\left( x\right) =c$(c爲常數)
\[y'=f'\left( x\right) =c'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x} \]
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0} \dfrac {c-c}{\Delta x}=0\]

(2)
$y=x\\ y'=x'=1$

(3)
$y=x^{2}\\ y'=\left( x^2\right) '=2x$

(4)
$y=x^{3}\\ y'=3x^{2}$

(5)
$y=\dfrac {1}{x}\\ y'=-\dfrac {1}{x^{2}}$

(6)
$y=\dfrac {1}{\sqrt {x}}\\ y'=\dfrac {1}{2\sqrt {x_{0}}}$
\[y'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x} \]
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x_{0}+\Delta x}-\sqrt {x_{0}}}{\Delta x} \](分母有理化)
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {1}{\sqrt {x_{0}+\Delta x}+\sqrt {x_{0}}}=\dfrac {1}{2\sqrt {x_{0}}} \]

知識點7　導數公式表

$y=f\left( x\right) ,y'=f'\left( x\right)$
$ y=c,y'=0$
$ y=x^{n}\left( n\in N+\right) ,y'=nx^{n-1}$
$y=x^{\alpha }( \alpha \in Q,x>0), y'=\alpha x^{\alpha -1}$
$y= a^{x}(a > 0,a\neq 1),y'=a^{x}\ln a$
$y=\log a^{x}( a >0,a\neq 1),y'=\dfrac {1}{x\ln a}$
特別地
$y=e^{x},y'=e^{x}\\ y=\ln x,y'=\dfrac {1}{x}\\ y=\sin x,y'=\cos x\\ y=\cos x,y'=-\sin x$
補充：
$y=\ln \left| x\right| ,y'=\dfrac {1}{\left| x\right| }\\ y=\tan x,y'=\sec ^{2}x=\dfrac {1}{\cos ^{2}x}$
$y=\arcsin x,y'=\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}\\ y=\arccos x,y'=-\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}$
$y=\arctan x,y'=\dfrac {1}{1+x^{2}}\\ y=arccotx,y'=-\dfrac {1}{1+x^{2}}$
證實$y=\arcsin x,y'=\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}$:
\[\arcsin x=\theta \\ \Downarrow \\ \sin \theta =x\]
\[\cos\Delta\theta =\Delta x\\ \theta '=\dfrac {\Delta \theta }{\Delta x}=\dfrac {1}{\cos \theta }=\dfrac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\\ \Downarrow \\ \left( \arcsin x\right) '=\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}\]
極限：
「$\dfrac {0}{0}$」\[\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1\]
"$\dfrac {\infty }{\infty }$"\[\lim _{x\rightarrow 0}\left( 1+\dfrac {1}{x}\right) ^{x}=e\]
或\[\lim _{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}=e\]

例7

求導
$f\left( x\right) =x^{5}+2x^{4}+x^{3},g\left( x\right) =3^{x}+\ln x,h\left( x\right) =\cos x+\sin x$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\Downarrow$
$f'\left( x\right) =5x^{4}+8x^{3}+3x^{2},g'\left( x\right) =3^{x}\ln 3+\dfrac {1}{x}, h'\left( x\right) =-\sin x+\cos x$

知識點8　導數的四則運算

(1)函數和(或差)的求導法則
$\left[ f\left( x\right) \pm g\left( x\right) \right]'=f'\left( x\right) \pm g'\left( x\right)$
(2)函數的積的求導法則
$\left[ f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \cdot g\left( x\right) +f\left( x\right) \cdot g'\left( x\right)$
(3)導數商的求導法則
$\left[ \dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{'}=\dfrac {f'\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g'\left( x\right) }{g^{2}\left( x\right) }$
證實：
\[\left[ \dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{'}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {f\left( x+\Delta x\right) }{g\left( x+\Delta x\right) }-\dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }}{\Delta x}\]
\[=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x+\Delta x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g\left( x+\Delta x\right) }{g\left( x+\Delta x\right) g\left( x\right) \Delta x}\]
\[=\dfrac {f'\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g'\left( x\right) }{g^{2}\left( x\right) }\]

例8

求$f\left( x\right) =a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}$的導數
解：
$f\left( x\right) =na_{0}x^{n-1}+(n-1)a_{1}x^{n-2}+\ldots +a_{n}-1$

例9

$y=x\cdot \sin x$
解：
$y'=x'\sin x+x\cdot \left( \sin x\right) '\\ =\sin x+x\cdot \cos x$

例10

$y=\sin 2x$
解：
$y=\sin 2x=2\sin x\cos x\\ y'=2(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x )\\ =2\cos 2x$

例11

$y=\tan x=\dfrac {\sin x}{\cos x}$
解：
$y'=\dfrac {\left( \sin x\right) '\cos x-\sin x\left( \cos x\right)' }{\cos ^{2}x}$
$=\dfrac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}\\ =\dfrac {1}{\cos ^{2}x}$

知識點9　利用導數判斷函數的單調性

(1)若是(a,b)內$f'\left( x\right) >0$，函數單調遞增
(2)若是(a,b)內$f'\left( x\right) <0$，函數單調遞減

例13

y=x在$\left( -\infty ,+\infty \right)$上的單調性
解：$y'=1 >0$

例14

$y=2x^{2}-2x+4$在$\left( -\infty ,+\infty \right)$上的單調性
解：$y'=2x-2$
令$y' >0$，即$x >1$，在$\left( 1,+\infty \right)$上函數單調遞增
令$y' <0$，即$x <1$，在$\left( -\infty ,1\right)$上函數單調遞減

例15

$y=x^{3}-4x^{2}+x-1$
解：
$y'=3x^{2}-8x+1$
令$y' >0$，即在$\left( -\infty ,\dfrac {4-\sqrt {13}}{3}\right) ,\left( \dfrac {4+\sqrt {13}}{3},+\infty \right)$上函數單調遞增
令$y' <0$，即在$\left( \dfrac {4-\sqrt {13}}{3} ,\dfrac {4+\sqrt {13}}{3} \right)$上函數單調遞減

知識點10　利用導數研究函數的性質

$y=\dfrac {1}{3}x^{3}-4x+4\\ y'=x^{2}-4$
令$y=0$即$x=\pm2$

x	($-\infty$,-2)	-2	(-2,2)	2	(2,$+\infty$)
$f'\left( x\right)$	+		-		+
$f\left( x\right)$	$\nearrow$	極大值	$\searrow$	極小值	$\nearrow$

知識點11　曲邊梯形與定積分

例16

求曲線$y=x^{2}$與直線$x=1,y=0$所圍成區域的面積。
解：

[0,1]等分。
$S_{n}=0+\left( \dfrac {1}{n}\right) ^{2}\cdot \dfrac {1}{n}+\left( \dfrac {2}{n}\right) ^{2}\cdot \dfrac {1}{n}+\ldots +\left( \dfrac {n-1}{n}\right) ^{2}\cdot \dfrac {1}{n}=\dfrac {1}{n^{3}}$
$\left[ 1^{2}+2^{2}+\ldots +\left( n-1\right) ^{2}\right] =\dfrac {1}{n^{3}}$
$\dfrac {n\left( n-1)(2n-1\right) }{6}=\dfrac {1}{6}\left( 1-\dfrac {1}{n}\right) \left( 2-\dfrac {1}{n}\right)$
$n\rightarrow \infty$時
\[\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{6}\left( 1-\dfrac {1}{n}\right) \left( 2-\dfrac {1}{n}\right)= \dfrac {1}{3}\]

例12

$y=f\left( u\right) ,u=ax+b$，求$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$
解：$u'=a$
$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {\Delta y}{\Delta u}\cdot \dfrac {\Delta u}{\Delta x}$
$=f'\left( u\right) \cdot u'\left( x\right)$
$=a\cdot f'\left( u\right)$

eg1

$\mu =x^{-1},g\left( x\right) =4x^{2}+3x$
解：
$g\left( u\right) =4u^{2}+3u\\ g'\left( u\right) =8u+3\\ u'=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac {1}{x^{2}}$

eg2

$\left[ \sin \left( 2x+\dfrac {\pi }{3}\right) \right]'$
解：
$u=2x+\dfrac {\pi }{3} \\y=\sin u\\ =\cos u\cdot 2\\ =2\cos \left( 2x+\dfrac {\pi }{3}\right)$

eg3

$\left[ \left( 5x+3\right) ^{5}\right] '$
解：
$y=u,u=5x+3,u'=5$
$y'=f'\left( u\right) \cdot u'\left( x\right) \\ =5u^{4}\cdot 5\\ =25\left( 5x+3\right) ^{4}$

知識點12　[a,b]n分

$a=x_{0} <x_{1} <x_{2} <\ldots <x_{n}=b$
\[I\left( n\right) =\sum ^{n-1}_{i=0}f\left( \varepsilon i\right) \Delta xi\]
$x_{i}=\max${$\Delta xi$}
\[\lambda _{i}\rightarrow 0\\ \lim _{\lambda i\rightarrow 0}f\left( \varepsilon i\right) \Delta xi\rightarrow l\]定積分
記做\[\int ^{b}_{a}f\left( x\right) \Delta x= \lim _{\lambda i\rightarrow 0}\sum ^{n-1}_{i=0}f\left( \varepsilon i\right) \Delta xi\]
$f\left( x\right)$：倍積函數

例16（續）

$S=\int ^{1}_{0}x^{2}\Delta x=\dfrac {1}{3}$

知識點13　微積分基本定理

若是$F\left( x\right) '=f\left( x\right)$且$f\left( x\right)$在$[a,b]$內可積
則
$\int ^{b}_{a}f\left( x\right) \Delta x$
$ =F\left( x\right) \int ^{b}_{a}$
$ =F\left( b\right) -F\left( a\right) $

例17

$\int ^{1}_{0}x^{2}\Delta x=$
解：
$\because \left( \dfrac {1}{3}x^{3}\right) '=x^{2}\\ \therefore \int ^{1}_{0}x^{2}\Delta x\\ =\dfrac {x^{3}}{3}\int ^{1}_{0}=\dfrac {1}{3}$