徹底圖樹的計數

徹底圖樹的計數

把兩年前的東西忘乾淨了
n 個結點的無向徹底圖的生成樹的個數

• n 個點的有標號無根樹的計數：$n(n-2)$
• n 個點的有標號有根樹的計數：$n(n-2)\times n=n(n-1)$
• n 個點的無標號有根樹的計數：
  令
  $$S_{n,j}=\sum_{1 \leqslant j \leqslant \frac{n}{j}}a_{n+1-i,j}$$
  則有
  $$S_{n,j}=S_{n-j,j}+a_{n+1-j}$$
  所以咱們獲得了求$a_n$比較理想的遞推式：
  $$a_{n+1}=\frac{\displaystyle\sum_{i \leqslant j \leqslant n}ja_j S_{n,j}}{n}$$
  根據這個遞推式，咱們就能夠求出$A(z)$:
  $$A(z)=z+z^2+2z^3+4z^4+9z^5+20z^6+48z^7+115z^8+286z^9+719z^10+1842z^11+...$$
• n 個點的無標號無根樹的計數：
  • 當n是奇數時，無根樹共有$\displaystyle{a_n-\sum_{1 \leqslant i \leqslant \frac{n}{2}}a_i a_{n-i}}$
  • 當n是偶數時，無根樹共有$\displaystyle{a_n-\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}a_i a_{n-i}+\frac{1}{2}a_{\frac{n}{2}}(a_{\frac{n}{2}}+1)}$