計算徹底二叉樹的節點數

基本概念

若是讓你數一下一棵普通二叉樹有多少個節點，這很簡單，只要在二叉樹的遍歷框架上加一點代碼就好了。

可是，若是給你一棵徹底二叉樹，讓你計算它的節點個數，你會不會？算法的時間複雜度是多少？

這個算法的時間複雜度應該是 O(logN*logN)，若是你心中的算法沒有達到這麼高效，那麼本文就是給你寫的。

首先要明確一下兩個關於二叉樹的名詞「徹底二叉樹」和「滿二叉樹」。

咱們說的徹底二叉樹以下圖，每一層都是緊湊靠左排列的：

咱們說的滿二叉樹以下圖，是一種特殊的徹底二叉樹，每層都是是滿的，像一個穩定的三角形：

說句題外話，關於這兩個定義，中文語境和英文語境彷佛有點區別，咱們說的徹底二叉樹對應英文 Complete Binary Tree，沒有問題。可是咱們說的滿二叉樹對應英文 Perfect Binary Tree，而英文中的 Full Binary Tree 是指一棵二叉樹的全部節點要麼沒有孩子節點，要麼有兩個孩子節點。以下：

以上定義出自 wikipedia，這裏就是順便一提，其實名詞叫什麼都無所謂，重要的是算法操做。

記住「滿二叉樹」和「徹底二叉樹」的區別，等會會用到。

節點數目計算

如今迴歸正題，如何求一棵徹底二叉樹的節點個數呢？

// 輸入一棵徹底二叉樹，返回節點總數
int countNodes(TreeNode root);
複製代碼

若是是一個普通二叉樹，顯然只要向下面這樣遍歷一邊便可，時間複雜度 O(N)：

public int countNodes(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}
複製代碼

那若是是一棵滿二叉樹，節點總數就和樹的高度呈指數關係，時間複雜度 O(logN)：

public int countNodes(TreeNode root) {
    int h = 0;
    // 計算樹的高度
    while (root != null) {
        root = root.left;
        h++;
    }
    // 節點總數就是 2^h - 1
    return (int)Math.pow(2, h) - 1;
}
複製代碼

徹底二叉樹比普通二叉樹特殊，但又沒有滿二叉樹那麼特殊，計算它的節點總數，能夠說是普通二叉樹和徹底二叉樹的結合版，先看代碼：

public int countNodes(TreeNode root) {
    TreeNode l = root, r = root;
    // 記錄左、右子樹的高度
    int hl = 0, hr = 0;
    while (l != null) {
        l = l.left;
        hl++;
    }
    while (r != null) {
        r = r.right;
        hr++;
    }
    // 若是左右子樹的高度相同，則是一棵滿二叉樹
    if (hl == hr) {
        return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
    }
    // 若是左右高度不一樣，則按照普通二叉樹的邏輯計算
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}
複製代碼

結合剛纔針對滿二叉樹和普通二叉樹的算法，上面這段代碼應該不難理解，就是一個結合版，可是其中下降時間複雜度的技巧是很是微妙的。

時間複雜度

開頭說了，這個算法的時間複雜度是 O(logN*logN)，這是怎麼算出來的呢？

直覺感受好像最壞狀況下是 O(N*logN) 吧，由於以前的 while 須要 logN 的時間，最後要 O(N) 的時間向左右子樹遞歸：

return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
複製代碼

關鍵點在於，這兩個遞歸只有一個會真的遞歸下去，另外一個必定會觸發hl == hr而當即返回，不會遞歸下去。

爲何呢？緣由以下：

一棵徹底二叉樹的兩棵子樹，至少有一棵是滿二叉樹：

看圖就明顯了吧，因爲徹底二叉樹的性質，其子樹必定有一棵是滿的，因此必定會觸發hl == hr，只消耗 O(logN) 的複雜度而不會繼續遞歸。

綜上，算法的遞歸深度就是樹的高度 O(logN)，每次遞歸所花費的時間就是 while 循環，須要 O(logN)，因此整體的時間複雜度是 O(logN*logN)。

因此說，「徹底二叉樹」這個概念仍是有它存在的緣由的，不只適用於數組實現二叉堆，並且連計算節點總數這種看起來簡單的操做都有高效的算法實現。