算法-求二進制數中1的個數

算法-求二進制數中1的個數 問題描述

任意給定一個32位無符號整數n，求n的二進制表示中1的個數，好比n = 5（0101）時，返回2，n = 15（1111）時，返回4

這也是一道比較經典的題目了，相信很多人面試的時候可能遇到過這道題吧，下面介紹了幾種方法來實現這道題，相信不少人可能見過下面的算法，但我相信不多有人見到本文中全部的算法。若是您上頭上有更好的算法，或者本文沒有提到的算法，請不要吝惜您的代碼，分享的時候，也是學習和交流的時候。

普通法

我老是習慣叫普通法，由於我實在找不到一個合適的名字來描述它，其實就是最簡單的方法，有點程序基礎的人都能想獲得，那就是移位+計數，很簡單，很少說了，直接上代碼，這種方法的運算次數與輸入n最高位1的位置有關，最多循環32次。

複製代碼 int BitCount(unsigned int n) { unsigned int c =0 ; // 計數器 while (n >0) { if((n &1) ==1) // 當前位是1 ++c ; // 計數器加1 n >>=1 ; // 移位 } return c ; } 複製代碼 一個更精簡的版本以下

複製代碼 int BitCount1(unsigned int n) { unsigned int c =0 ; // 計數器 for (c =0; n; n >>=1) // 循環移位 c += n &1 ; // 若是當前位是1，則計數器加1 return c ; } 複製代碼 快速法

這種方法速度比較快，其運算次數與輸入n的大小無關，只與n中1的個數有關。若是n的二進制表示中有k個1，那麼這個方法只須要循環k次便可。其原理是不斷清除n的二進制表示中最右邊的1，同時累加計數器，直至n爲0，代碼以下

複製代碼 int BitCount2(unsigned int n) { unsigned int c =0 ; for (c =0; n; ++c) { n &= (n -1) ; // 清除最低位的1 } return c ; } 複製代碼 爲何n &= (n – 1)能清除最右邊的1呢？由於從二進制的角度講，n至關於在n - 1的最低位加上1。舉個例子，8（1000）= 7（0111）+ 1（0001），因此8 & 7 = （1000）&（0111）= 0（0000），清除了8最右邊的1（其實就是最高位的1，由於8的二進制中只有一個1）。再好比7（0111）= 6（0110）+ 1（0001），因此7 & 6 = （0111）&（0110）= 6（0110），清除了7的二進制表示中最右邊的1（也就是最低位的1）。

查表法

動態建表

因爲表示在程序運行時動態建立的，因此速度上確定會慢一些，把這個版本放在這裏，有兩個緣由

1. 介紹填表的方法，由於這個方法的確很巧妙。

2. 類型轉換，這裏不能使用傳統的強制轉換，而是先取地址再轉換成對應的指針類型。也是經常使用的類型轉換方法。

複製代碼 int BitCount3(unsigned int n) { // 建表 unsigned char BitsSetTable256[256] = {0} ;

// 初始化表 
for (int i =0; i <256; i++) 
{ 
    BitsSetTable256[i] = (i &1) + BitsSetTable256[i /2]; 
} 

unsigned int c =0 ; 

// 查表
unsigned char* p = (unsigned char*) &n ; 

c = BitsSetTable256[p[0]] + 
    BitsSetTable256[p[1]] + 
    BitsSetTable256[p[2]] + 
    BitsSetTable256[p[3]]; 

return c ;

} 複製代碼 先說一下填表的原理，根據奇偶性來分析，對於任意一個正整數n

1.若是它是偶數，那麼n的二進制中1的個數與n/2中1的個數是相同的，好比4和2的二進制中都有一個1，6和3的二進制中都有兩個1。爲啥？由於n是由n/2左移一位而來，而移位並不會增長1的個數。

2.若是n是奇數，那麼n的二進制中1的個數是n/2中1的個數+1，好比7的二進制中有三個1，7/2 = 3的二進制中有兩個1。爲啥？由於當n是奇數時，n至關於n/2左移一位再加1。

再說一下查表的原理

對於任意一個32位無符號整數，將其分割爲4部分，每部分8bit，對於這四個部分分別求出1的個數，再累加起來便可。而8bit對應2^8 = 256種01組合方式，這也是爲何表的大小爲256的緣由。

注意類型轉換的時候，先取到n的地址，而後轉換爲unsigned char*，這樣一個unsigned int（4 bytes）對應四個unsigned char（1 bytes），分別取出來計算便可。舉個例子吧，以87654321（十六進制）爲例，先寫成二進制形式-8bit一組，共四組，以不一樣顏色區分，這四組中1的個數分別爲4，4，3，2，因此一共是13個1，以下面所示。

10000111 01100101 01000011 00100001 = 4 + 4 + 3 + 2 = 13

靜態表-4bit

原理和8-bit表相同，詳見8-bit表的解釋

複製代碼 int BitCount4(unsigned int n) { unsigned int table[16] = { 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4 } ;

unsigned int count =0 ;
while (n)
{
    count += table[n &0xf] ;
    n >>=4 ;
}
return count ;

} 複製代碼 靜態表-8bit

首先構造一個包含256個元素的表table，table[i]即i中1的個數，這裏的i是[0-255]之間任意一個值。而後對於任意一個32bit無符號整數n，咱們將其拆分紅四個8bit，而後分別求出每一個8bit中1的個數，再累加求和便可，這裏用移位的方法，每次右移8位，並與0xff相與，取得最低位的8bit，累加後繼續移位，如此往復，直到n爲0。因此對於任意一個32位整數，須要查表4次。以十進制數2882400018爲例，其對應的二進制數爲10101011110011011110111100010010，對應的四次查表過程以下：紅色表示當前8bit，綠色表示右移後高位補零。

第一次（n & 0xff） 10101011110011011110111100010010

第二次（(n >> 8) & 0xff） 00000000101010111100110111101111

第三次（(n >> 16) & 0xff）00000000000000001010101111001101

第四次（(n >> 24) & 0xff）00000000000000000000000010101011

複製代碼 int BitCount7(unsigned int n) { unsigned int table[256] = { 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8, };

return table[n &0xff] +
    table[(n >>8) &0xff] +
    table[(n >>16) &0xff] +
    table[(n >>24) &0xff] ;

} 複製代碼

固然也能夠搞一個16bit的表，或者更極端一點32bit的表，速度將會更快。

平行算法

網上都這麼叫，我也這麼叫吧，不過話說回來，的確有平行的意味在裏面，先看代碼，稍後解釋

複製代碼 int BitCount4(unsigned int n) { n = (n &0x55555555) + ((n >>1) &0x55555555) ; n = (n &0x33333333) + ((n >>2) &0x33333333) ; n = (n &0x0f0f0f0f) + ((n >>4) &0x0f0f0f0f) ; n = (n &0x00ff00ff) + ((n >>8) &0x00ff00ff) ; n = (n &0x0000ffff) + ((n >>16) &0x0000ffff) ;

return n ;

} 複製代碼 速度不必定最快，可是想法絕對巧妙。 說一下其中奧妙，其實很簡單，先將n寫成二進制形式，而後相鄰位相加，重複這個過程，直到只剩下一位。

以217（11011001）爲例，有圖有真相，下面的圖足以說明一切了。217的二進制表示中有5個1

完美法

int BitCount5(unsigned int n) { unsigned int tmp = n - ((n >>1) &033333333333) - ((n >>2) &011111111111); return ((tmp + (tmp >>3)) &030707070707) %63; } 最喜歡這個，代碼太簡潔啦，只是有個取模運算，可能速度上慢一些。區區兩行代碼，就能計算出1的個數，到底有何奧妙呢？爲了解釋的清楚一點，我儘可能多說幾句。

第一行代碼的做用

先說明一點，以0開頭的是8進制數，以0x開頭的是十六進制數，上面代碼中使用了三個8進制數。

將n的二進制表示寫出來，而後每3bit分紅一組，求出每一組中1的個數，再表示成二進制的形式。好比n = 50，其二進制表示爲110010，分組後是110和010，這兩組中1的個數本別是2和3。2對應010，3對應011，因此第一行代碼結束後，tmp = 010011，具體是怎麼實現的呢？因爲每組3bit，因此這3bit對應的十進制數都能表示爲2^2 * a + 2^1 * b + c的形式，也就是4a + 2b + c的形式，這裏a,b,c的值爲0或1，若是爲0表示對應的二進制位上是0，若是爲1表示對應的二進制位上是1，因此a + b + c的值也就是4a + 2b + c的二進制數中1的個數了。舉個例子，十進制數6（0110）= 4 * 1 + 2 * 1 + 0，這裏a = 1, b = 1, c = 0, a + b + c = 2，因此6的二進制表示中有兩個1。如今的問題是，如何獲得a + b + c呢？注意位運算中，右移一位至關於除2，就利用這個性質！

4a + 2b + c 右移一位等於2a + b

4a + 2b + c 右移量位等於a

而後作減法

4a + 2b + c –(2a + b) – a = a + b + c，這就是第一行代碼所做的事，明白了吧。

第二行代碼的做用

在第一行的基礎上，將tmp中相鄰的兩組中1的個數累加，因爲累加到過程當中有些組被重複加了一次，因此要捨棄這些多加的部分，這就是&030707070707的做用，又因爲最終結果可能大於63，因此要取模。

須要注意的是，通過第一行代碼後，從右側起，每相鄰的3bit只有四種可能，即000, 001, 010, 011，爲啥呢？由於每3bit中1的個數最多爲3。因此下面的加法中不存在進位的問題，由於3 + 3 = 6，不足8，不會產生進位。

tmp + (tmp >> 3)-這句就是是相鄰組相加，注意會產生重複相加的部分，好比tmp = 659 = 001 010 010 011時，tmp >> 3 = 000 001 010 010，相加得

001 010 010 011

000 001 010 010

---

001 011 100 101

011 + 101 = 3 + 5 = 8。（感謝網友Di哈指正。）注意，659只是箇中間變量，這個結果不表明659這個數的二進制形式中有8個1。

注意咱們想要的只是第二組和最後一組（綠色部分），而第一組和第三組（紅色部分）屬於重複相加的部分，要消除掉，這就是&030707070707所完成的任務（每隔三位刪除三位），最後爲何還要%63呢？由於上面至關於每次計算相連的6bit中1的個數，最可能是111111 = 77（八進制）= 63（十進制），因此最後要對63取模。

位標誌法

感謝網友 gussing提供

複製代碼 struct _byte { unsigned a:1; unsigned b:1; unsigned c:1; unsigned d:1; unsigned e:1; unsigned f:1; unsigned g:1; unsigned h:1; };

long get_bit_count( unsigned char b ) { struct _byte by = (struct _byte)&b; return (by->a+by->b+by->c+by->d+by->e+by->f+by->g+by->h); } 複製代碼 指令法

感謝網友 Milo Yip提供

使用微軟提供的指令，首先要確保你的CPU支持SSE4指令，用Everest和CPU-Z能夠查看是否支持。

unsigned int n =127 ; unsigned int bitCount = _mm_popcnt_u32(n) ; References

http://gurmeetsingh.wordpress.com/2008/08/05/fast-bit-counting-routines/

做者：zdd 出處：http://www.cnblogs.com/graphics/ 本文版權歸做者和博客園共有，歡迎轉載，但未經做者贊成必須保留此段聲明，且在文章頁面明顯位置給出原文鏈接，不然保留追究法律責任的權利.