【轉】算法-求二進制數中1的個數

寫在前面的話 CSAPP課程的lab1有一道這樣的題目，而後老師上課講過一個，就是轉帖的那個完美解法。真心好贊。這幾天在複習考試的時候又把這個帖子翻出來看了~好有魔性。
這裏是做者原來的博客 算法-求二進制數中1的個數。感謝感謝!

問題描述

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任意給定一個32位無符號整數n，求n的二進制表示中1的個數，好比n = 5（0101）時，返回2，n = 15（1111）時，返回4

這也是一道比較經典的題目了，相信很多人面試的時候可能遇到過這道題吧，下面介紹了幾種方法來實現這道題，相信不少人可能見過下面的算法，但我相信不多有人見到本文中全部的算法。若是您上頭上有更好的算法，或者本文沒有提到的算法，請不要吝惜您的代碼，分享的時候，也是學習和交流的時候。

普通法

我老是習慣叫普通法，由於我實在找不到一個合適的名字來描述它，其實就是最簡單的方法，有點程序基礎的人都能想獲得，那就是移位+計數，很簡單，很少說了，直接上代碼，這種方法的運算次數與輸入n最高位1的位置有關，最多循環32次。

int BitCount(unsigned int n)
{
    unsigned int c =0 ; // 計數器
    while (n >0)
    {
        if((n &1) ==1) // 當前位是1
            ++c ; // 計數器加1
        n >>=1 ; // 移位
    }
    return c ;
}

一個更精簡的版本以下

int BitCount1(unsigned int n)
{
    unsigned int c =0 ; // 計數器
    for (c =0; n; n >>=1) // 循環移位
        c += n &1 ; // 若是當前位是1，則計數器加1
    return c ;
}

快速法

這種方法速度比較快，其運算次數與輸入n的大小無關，只與n中1的個數有關。若是n的二進制表示中有k個1，那麼這個方法只須要循環k次便可。其原理是不斷清除n的二進制表示中最右邊的1，同時累加計數器，直至n爲0，代碼以下

int BitCount2(unsigned int n)
{
    unsigned int c =0 ;
    for (c =0; n; ++c)
    {
        n &= (n -1) ; // 清除最低位的1
    }
    return c ;
}

爲何n &= (n – 1)能清除最右邊的1呢？由於從二進制的角度講，n至關於在n - 1的最低位加上1。舉個例子，8（1000）= 7（0111）+ 1（0001），因此8 & 7 = （1000）&（0111）= 0（0000），清除了8最右邊的1（其實就是最高位的1，由於8的二進制中只有一個1）。再好比7（0111）= 6（0110）+ 1（0001），因此7 & 6 = （0111）&（0110）= 6（0110），清除了7的二進制表示中最右邊的1（也就是最低位的1）。
（這個方法開始看了很久~結果只總結出一個道理~不要只是看~看不懂就動動筆啊。）

查表法

動態建表

因爲表示在程序運行時動態建立的，因此速度上確定會慢一些，把這個版本放在這裏，有兩個緣由

1. 介紹填表的方法，由於這個方法的確很巧妙。

2. 類型轉換，這裏不能使用傳統的強制轉換，而是先取地址再轉換成對應的指針類型。也是經常使用的類型轉換方法。

int BitCount3(unsigned int n) 
{ 
    // 建表
    unsigned char BitsSetTable256[256] = {0} ; 

    // 初始化表 
    for (int i =0; i <256; i++) 
    { 
        BitsSetTable256[i] = (i &1) + BitsSetTable256[i /2]; 
    } 

    unsigned int c =0 ; 

    // 查表
    unsigned char* p = (unsigned char*) &n ; 

    c = BitsSetTable256[p[0]] + 
        BitsSetTable256[p[1]] + 
        BitsSetTable256[p[2]] + 
        BitsSetTable256[p[3]]; 

    return c ; 
}

先說一下填表的原理，根據奇偶性來分析，對於任意一個正整數n

1.若是它是偶數，那麼n的二進制中1的個數與n/2中1的個數是相同的，好比4和2的二進制中都有一個1，6和3的二進制中都有兩個1。爲啥？由於n是由n/2左移一位而來，而移位並不會增長1的個數。

2.若是n是奇數，那麼n的二進制中1的個數是n/2中1的個數+1，好比7的二進制中有三個1，7/2 = 3的二進制中有兩個1。爲啥？由於當n是奇數時，n至關於n/2左移一位再加1。

再說一下查表的原理

對於任意一個32位無符號整數，將其分割爲4部分，每部分8bit，對於這四個部分分別求出1的個數，再累加起來便可。而8bit對應2^8 = 256種01組合方式，這也是爲何表的大小爲256的緣由。
注意類型轉換的時候，先取到n的地址，而後轉換爲unsigned char*，這樣一個unsigned int（4 bytes）對應四個unsigned char（1 bytes），分別取出來計算便可。舉個例子吧，以87654321（十六進制）爲例，先寫成二進制形式-8bit一組，共四組，以不一樣顏色區分(這裏好像無法顯示顏色，不過不影響理解。)，這四組中1的個數分別爲4，4，3，2，因此一共是13個1，以下面所示。

10000111 01100101 01000011 00100001 = 4 + 4 + 3 + 2 = 13

（看到這個方法的時候，我居然想到了動態規劃的建表。應該不是一種意思，不過這個思路好巧的說。怎麼仍是以爲有點像動態規劃。）

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今天就看到了這裏~明天補上。