初等函數

初等函數

初等函數（基本函數）是由常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數通過有限次的有理運算（加、減、乘、除、有限次乘方、有限次開方）及有限次函數複合所產生、而且在定義域上能用一個方程式表示的函數。

通常來講，分段函數不是初等函數，由於在這些分段函數的定義域上不能用一個解析式表示。

目錄

• 1常函數
• 2冪函數
• 3指數函數
• 4對數函數
• 5三角函數
  • 5.1正弦函數
  • 5.2餘弦函數
  • 5.3正切函數
  • 5.4餘切函數
  • 5.5正割函數
  • 5.6餘割函數
• 6反三角函數
• 7其它常見初等函數
  • 7.1雙曲函數
  • 7.2反雙曲函數
• 8擴展閱讀
• 9外部連接

常函數

稱{\displaystyle f(x)=C}爲常數函數，其中C爲常數，它的定義域爲{\displaystyle (-\infty ,\infty )}。

冪函數

稱形如{\displaystyle f(x)=Cx^{r}}的函數爲冪函數，其中C, r爲常數。冪函數的定義域與r的值有關，可是無論r取何值，該函數在{\displaystyle (0,+\infty )}上總有意義。

指數函數

稱形如{\displaystyle f(x)=a^{x}}的函數爲指數函數，其中a是常數，{\displaystyle a>0}且{\displaystyle a\neq 1}。該函數的定義域爲{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，值域爲{\displaystyle (0,+\infty )}

對數函數

稱形如{\displaystyle y=\log _{a}x\!}的函數爲對數函數，其中{\displaystyle a>0}且{\displaystyle a\neq 1}，是指數函數{\displaystyle y=a^{x}}的反函數。該函數定義域爲{\displaystyle (0,+\infty )}，值域爲{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}

三角函數

正弦函數

稱形如{\displaystyle f(x)=\sin x}的函數爲正弦函數，它的定義域爲{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，值域爲{\displaystyle [-1,1]}，最小正週期爲{\displaystyle 2\pi }。

餘弦函數

稱形如{\displaystyle f(x)=\cos x}的函數爲餘弦函數，它的定義域爲{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，值域爲{\displaystyle [-1,1]}，最小正週期爲{\displaystyle 2\pi }。

正切函數

稱形如 {\displaystyle f(x)=\tan x}的函數爲正切函數，它的定義域爲{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域爲{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，最小正週期爲{\displaystyle \pi }。

餘切函數

稱形如{\displaystyle f(x)=\cot x}的函數爲餘切函數，它的定義域爲{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域爲{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，最小正週期爲{\displaystyle \pi }。

正割函數

稱形如{\displaystyle f(x)=\sec x}的函數爲正割函數，它的定義域爲{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域爲{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}，最小正週期爲{\displaystyle 2\pi }。

餘割函數

稱形如{\displaystyle f(x)=\csc x}的函數爲餘割函數，它的定義域爲{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域爲{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}，最小正週期爲{\displaystyle 2\pi }。

反三角函數

其它常見初等函數

雙曲函數

雙曲正弦函數：{\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
雙曲餘弦函數：{\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
雙曲正切函數：{\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}

反雙曲函數

反雙曲正弦函數：{\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
反雙曲正切函數：{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}