線性代數應該這樣學5：線性映射的矩陣、可逆與同構。

在本系列中，個人我的看法將使用斜體標註。每篇文章的最後，我將選擇摘錄一些例題。因爲文章是我獨自整理的，缺少審閱，不免出現錯誤，若有發現歡迎在評論區中指正。

目錄

• Part 1：矩陣
• Part 2：可逆
• Part 3：同構的向量空間
• 例題

Part 1：矩陣

本節終於進入到熟悉的矩陣，矩陣是線性映射的一種特殊表示，上一章的例題1已經說明了任何\(\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^m\)的線性映射都可以被\(m\times n\)個實數所肯定。但事實上，用矩陣表示線性映射的方式並非這麼狹隘的。

矩陣(matrix) 設\(m\)和\(n\)都是正整數，\(m\times n\)的矩陣\(A\)是由\(\mathbb{F}\)的元素構成的\(m\)行\(n\)列數表。

\[A=\begin{pmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{m,1} & \cdots & A_{m,n} \end{pmatrix}. \]

記號\(A_{j,k}\)表示位於\(A\)的第\(j\)行第\(k\)列的元素，第一個下標表明行，第二個下標表明列。

線性映射的矩陣(matrix of a linear map) 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，並設\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，\(w_1,\cdots,w_m\)是\(W\)的基。規定\(T\)關於這些基的矩陣爲\(m\times n\)矩陣\(\mathcal M(T)\)，其中\(A_{j,k}\)知足

\[Tv_k=A_{1,k}w_k+\cdots+A_{m,k}w_m. \]

若是這些基不是上下文自明的，則記做\(\mathcal M(T,(v_1,\cdots,v_n),(w_1,\cdots,w_m))\)。

矩陣只是一個數表，若是不與線性映射關聯則矩陣沒有任何意義。線性映射的矩陣是依賴於基的，而\(V,W\)中有無限組基，理論上任何一組基都能定義一個線性映射的矩陣，它們是互不相同的。所以，線性映射的矩陣必需要包含關於基的描述，不然將默認爲天然基。

爲了方便記憶，最好將矩陣視爲一堆列向量構成的表：

\[\mathcal M(T)=(Tv_1,\cdots,Tv_n). \]

其中每一個\(Tv_k\)是\(Tv_k\)在\((w_1,\cdots,w_m)\)下的座標，固然，這樣的表述是不太嚴謹的。

\(\mathcal M(T)\)既能夠當作是一個矩陣的代號，也能夠把\(\mathcal M\)拆分出來，這時候\(\mathcal M\)應當被視爲一個將線性映射映射到矩陣空間上的線性映射，即把線性映射\(T\)和矩陣\(\mathcal M(T)\)都視爲各自線性空間的向量。

矩陣加法(matrix addition)與矩陣標量乘法(scalar multiplication of a matrix) 兩個矩陣相加只適用於同型矩陣，將其對應元素相加；矩陣的標量乘法將其每一個元素都乘以這個標量倍。

矩陣的線性運算是爲了線性映射服務的，這樣在一樣的基表示下，線性映射的運算就有很簡單的可視化表達。

• 在相同的基下，\(\mathcal M(S+T)=\mathcal M(S)+\mathcal M(T)\)。
• 在相同的基下，\(\mathcal M(\lambda T)=\lambda \mathcal M(T)\)。

假設\(S,T\in\mathcal L(V,W)\)。若是取\((v_1,\cdots,v_n)\)和\((w_1,\cdots,w_m)\)分別做爲\(V,W\)的基，則

\[(S+T)v_k=Sv_k+Tv_k, \]

至關於\(\mathcal M(S+T)\)的第\(k\)列是\(Sv_k+Tv_k\)，由線性映射的加性，結論容易證實。數乘由齊性同理。

\(\mathbb{F}^{m,n}\) \(\mathbb{F}^{m,n}\)表明全部\(m\times n\)矩陣構成的集合，結合矩陣加法和矩陣標量乘法的定義，它是一個線性空間，且\(\dim \mathbb{F}^{m,n}=mn\)。

\(\mathbb{F}^{m,n}\)是線性空間的證實，只需定義加法單位元\(0\)，它指的是全部元素都爲\(0\)的\(m\times n\)矩陣，而後加法和數乘在這個空間上的封閉性，是由數域\(\mathbb{F}\)的封閉性保證的。

爲證\(\dim \mathbb{F}^{m,n}=mn\)，只需找出其一組基，若是令\(e_{i,j}\)爲第\(i\)行第\(j\)列爲\(1\)，其餘元素爲\(0\)的矩陣，則\(mn\)個這樣的矩陣共同構成了\(\dim\mathbb{F}^{m,n}\)的基，它的張成性和線性無關性都很容易證實。

矩陣運算的本質全是線性映射的運算，因此矩陣乘法也應當如此定義。與映射的乘法同樣，它依賴於三個空間，故依賴於三組基，接下來的定義使得在一樣的基下，線性映射的矩陣乘法等價於映射的乘法。

矩陣乘法(matrix multiplication) 設\(A\)是\(m\times n\)矩陣，\(C\)是\(n\times p\)矩陣，則\(AC\)定義爲\(m\times p\)矩陣，其第\(j\)行第\(k\)列元素是

\[(AC)_{j,k} = \sum_{r=1}^{n}A_{j,r}C_{r,k}. \]

在這樣的定義下，對於相同的基，\(\mathcal M(S)\mathcal M(T)=\mathcal M(ST)\)。

設\(\mathcal M(S)=A,\mathcal M(T)=C\)，且\(T\in\mathcal L(U,V),S\in\mathcal L(V,W)\)，其基分別是\(u_1,\cdots,u_p\)，\(v_1,\cdots,v_n\)和\(w_1,\cdots,w_m\)，則

\[\begin{aligned} (ST)u_k&=S(Tu_k)\\ &=S\left(\sum_{r=1}^{n}C_{r,k}v_r \right)\\ &=\sum_{r=1}^n C_{r,k}Sv_r\\ &=\sum_{r=1}^n C_{r,k}\sum_{j=1}^m A_{j,r}w_j\\ &=\sum_{j=1}^m\left(\sum_{r=1}^n A_{j,r}C_{r,k} \right)w_j. \end{aligned} \]

結論得證。

因爲\(ST\ne TS\)，因此\(\mathcal M(ST)\ne \mathcal M(TS)\)，也就是\(\mathcal M(S)\mathcal M(T)\ne \mathcal M(T)\mathcal M(S)\)。

行矩陣和列矩陣 若\(A\)是\(m\times n\)矩陣，對於\(1\le j\le m\)，\(A_{j,\cdot}\)表示\(A\)的第\(j\)行組成的\(1\times n\)矩陣；\(A_{\cdot ,k}\)表示\(A\)的第\(k\)列組成的\(m\times 1\)矩陣。

行矩陣和列矩陣是矩陣分塊的基礎，它們能爲矩陣的乘法運算提供很大的便利。爲了應用行矩陣和列矩陣提供的便利，至少要知道行矩陣乘列矩陣等於一個數。

1. 矩陣乘積的元素等於行乘以列，即

   \[(AC)_{j,k}=A_{j,\cdot}C_{\cdot,k}. \]

2. 矩陣乘積的列等於矩陣乘以列，即

   \[(AC)_{\cdot ,k}=AC_{\cdot ,k}. \]

3. 設\(A\)是\(m\times n\)矩陣，\(C\)是\(n\times 1\)矩陣，則\(Ac\)能夠當作\(A\)每一列的線性組合，係數是\(c\)的係數，即

   \[Ac=c_1A_{\cdot,1}+\cdots+c_nA_{\cdot ,n}. \]

這種表達方式將矩陣當作一堆列矩陣按行排列造成的矩陣，有時咱們也稱之爲列向量。這樣考慮的好處是，咱們在線性映射的矩陣定義中，將每一列定義爲\(Tv_k\)在\(W\)的基下的係數，所以當\(W\)取天然基時，矩陣天然就是一堆列向量構成的列向量組。

Part 2：可逆

可逆(invertible)與逆(inverse) 線性映射\(T\in\mathcal L(V,W)\)稱爲可逆的，若是存在\(S\in\mathcal L(W,V)\)使得\(ST=I_V\)且\(TS=I_W\)，此時\(S\)稱爲\(T\)的逆。

注意\(S\)的原像空間和像空間和\(T\)是正好相反的。

逆是惟一的 可逆的線性映射\(T\)必有惟一的逆，記做\(T^{-1}\)。

設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，\(S_1,S_2\)是它的逆，則

\[S_1=S_1(TS_2)=(S_1T)S_2=S_2. \]

可逆的等價條件 \(T\in\mathcal L(V,W)\)是可逆的等價於\(T\)既是單射又是滿射。

這是一個很是重要的定理，給出了一種\(T\)不可逆的情形。同時，基於線性映射基本定理，對於可逆的\(T\in\mathcal L(V,W)\)，必有

\[\dim V=\dim \mathrm{null}T+\dim\mathrm{range}T=\dim W. \]

因此若是一個線性映射的原像空間和像空間維數都不一樣，則必不可逆。

證實必要性。若\(T\)可逆，則

\[Tu=Tv\Rightarrow T^{-1}Tu=T^{-1}Tv\Rightarrow u=v, \]

這裏證實\(T\)是單射。另外，\(\forall w\in W\)，有

\[w=TT^{-1}w=T(T^{-1}w),\quad T^{-1}w\in V. \]

因此\(w\in\mathrm{range}T\)，這裏證實\(T\)是滿射。

證實充分性。\(\forall w\in W\)，存在\(v\in V\)使得\(Tv=w\)。定義一個映射\(S\)，知足\(\forall w\in W\)，若是\(Tv=w\)，就有

\[Sw=v. \]

因爲\(T\)是單射，因此每一個\(w\)在\(T\)下只有一個原像，所以這樣的\(S\)是合理的。

下證實\(S\)是線性的（這一點很容易被遺忘），設\(w_1,w_2\in W\)，則由\(S\)的定義方式，有

\[w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2),\\ S(w_1+w_2)=v_1+v_2=Sw_1+Sw_2; \]

這就驗證了\(S\)的加性，齊性能夠相似驗證。

由\(S\)的定義方式，顯然有\(ST=I_V\)。而\(TSw=Tv=w\)，說明\(TS=I_W\)。因此\(S=T^{-1}\)。

以上證實的關鍵就在於構造出\(S\)，可是這裏寫的比較簡略，請讀者自行擴充。同時，以上的二級補充說明對非線性的狀況比較不友好，所以是一個比較粗糙的說明。

如下是書上給出的兩個研究無限維線性映射可逆性的例子，由此能夠知道

• 不是滿的：\(\mathcal L(\mathcal P(\mathbb{R}),\mathcal P(\mathbb{R}))\)中的乘以\(x^2\)算子不滿，因此不可逆。
• 不是單的：\(\mathcal L(\mathbb{F}^{\infty},\mathbb{F}^\infty)\)中的向後移位算子不單，因此不可逆。

Part 3：同構的向量空間

同構(isomorphism) 同構指的是可逆的線性映射。

同構的(isomorphic)向量空間 若兩個向量空間之間存在一個同構，則稱這兩個向量空間是同構的。

上一章中，揭示了對於有限維向量空間，可逆線性映射一定做用在維數相同的向量空間上。下面的定理增強一步，指出了同構存在與維數直接創建關係。

同構向量空間與維數 \(\mathbb{F}\)上兩個有限維向量空間同構，當且僅當其維數相同。

必要性已經證實了。

證實充分性只須要構造出這樣的同構。設\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，\(w_1,\cdots,w_n\)是\(W\)的基，定義一個這樣的映射：

\[T(c_1v_1+\cdots+v_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n. \]

容易證實\(T\in\mathcal L(V,W)\)。另外構造一個

\[S(c_1w_1+\cdots+c_nw_n)=c_1v_1+\cdots+c_nv_n, \]

則也容易證實\(S\in\mathcal L(W,V)\)，而且\(ST=I_V\)，\(TS=I_W\)，這就構造了一個同構。

能夠看到，這個證實與可逆的等價條件證實主要差距就在因而否是有限維的。當維數被限定，證實會變得簡單。

\(\mathcal L(V,W)\)與\(\mathbb{F}^{m,n}\)同構 若\(\dim V=n,\dim W=m\)，則\(\mathcal L(V,W)\)與\(\mathbb{F}^{m,n}\)同構。

這個定理代表，若是給定了矩陣的基，則線性映射與其矩陣之間的關係是可逆的，給定一個矩陣也能夠惟一地決定一個線性映射，也就是說：\(\mathcal M\in\mathcal L(\mathcal L(V,W),\mathbb{F}^{m,n})\)做爲一個線性映射可逆。（這符號感受套娃起來了）。

即證實\(\mathcal M\)可逆，也就是既單又滿。

證實\(\mathcal M\)是單射，等價於證實\(\mathrm{null}\mathcal M=\{0\}\)，這裏\(\{0\}\)是零映射。設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathcal M(T)=0\)指\(T\)在給定基下對應的是\(0\)矩陣，即全部\(V\)的基向量都被\(T\)映射到\(W\)中的\(0\)向量，天然\(T\)是一個零映射。（請讀者本身理清上面這段話）

證實\(\mathcal M\)是滿射，\(\forall A\in \mathbb{F}^{m,n}\)，定義這樣的一個\(T\in\mathcal L(V,W)\)，其中

\[Tv_k=\sum_{j=1}^m A_{j,k}w_j, \]

則\(\mathcal M(T)=A\)，因此\(\mathcal M\)是滿射。

由此結論直接能夠獲得：

\[\dim\mathcal L(V,W)=(\dim V)(\dim W). \]

向量的矩陣(matrix of a vector) 設\(v\in V\)，並設\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，則規定\(v\)關於這個基的矩陣是

\[\mathcal M(v)=\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix},\\ v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n. \]

如今咱們終於把向量與矩陣統一到了一塊兒，注意咱們都把向量視爲列矩陣。實際上，\(\mathcal M(v)\)的各個元素就是\(v\)在基\((v_1,\cdots,v_n)\)下的座標。如下結論都是成立的，若是從咱們之前學過的角度來看，這些結論都很顯然。

• \(\mathcal M(T)_{\cdot ,k}=\mathcal M(Tv_k)\)，即\(\mathcal M(T)\)的第\(k\)列就是\(Tv_k\)在基下的座標，這一點就是咱們的記憶方式。
• \(\mathcal M(Tv)=\mathcal M(T)\mathcal M(v)\)，便可以用矩陣乘法來表示線性映射，事實上咱們在線性代數中一直是這樣作的。

算子(operator) 向量空間到期自身的映射\(T\in\mathcal L(V,V)\)稱爲算子，將\(\mathcal L(V,V)\)記做\(\mathcal L(V)\)。

對於算子，咱們通常研究有限維向量空間。在有限維的情形，算子的單射與滿射是等價的：設\(V\)是有限維的，\(T\in\mathcal L(V)\)，則如下陳述等價：

1. \(T\)可逆。
2. \(T\)是單射。
3. \(T\)是滿射。

只需由線性映射基本定理：

\[\dim V=\dim \mathrm{null}T+\dim\mathrm{range}T, \]

注意到\(\mathrm{null}T\)和\(\mathrm{range}T\)都是\(V\)的子空間便可。

例題

矩陣部分的例題，全都是老掉牙的構造線性映射，只要知道矩陣和線性映射之間的相互轉換關係就沒什麼難的，這裏全都不提了。關於3.D的習題，也大可能是思惟存在障礙，難度上可能不是很大，由於基本用書上的結論能夠直接解決。

第一題（3.D 2） 設\(V\)是有限維的且\(\dim V>1\)。證實\(V\)上不可逆的算子構成的集合不是\(\mathcal L(V)\)的子空間。

證實某個集合不是向量空間，若是\(0\)元素在子空間內，則通常考慮構造一個不知足加法封閉性的案例。最簡單的可逆算子顯然是恆等算子。

構造以下的\(T_1\)和\(T_2\)：

\[T_1v_1=v_2,\quad T_1v_2=v_2,\\ T_2v_1=v_1-v_2,\quad T_2v_2=0. \]

若是\(\dim V>2\)，則在其餘維度上是恆等的。此時\(T_1\)和\(T_2\)都不是滿射（可自行驗證），可是

\[T_1+T_2=I_V. \]

第二題（3.D 9） 設\(V\)是有限維的，\(S,T\in\mathcal L(V)\)。證實\(ST\)可逆當且僅當\(S,T\)均可逆。

假設\(T\)不可逆，則\(T\)不是單射，存在\(v_1\)使得\(Tv_1=0\)。則\(STv_1=0\)，故\(\mathrm{null}(ST)\ne \{0\}\)。

假設\(S\)不可逆，則\(S\)不是滿射，\(\exists w\in V\)使得不存在\(v\)，\(Sv=w\)，那麼\(\forall D\in\mathcal L(V)\)必有\(STDw\ne w\)，即任何\(D\)都不是\(ST\)的逆。

第三題（3.D 16） 設\(V\)是有限維的，\(T\in\mathcal L(V)\)。證實：\(T=\lambda I_V\)當且僅當對每一個\(S\in\mathcal L(V)\)都有\(ST=TS\)。

這題比看上去要難，本來我認爲應當使用反證法，可是答案卻給出了正向證實的方式。其思路就在於，若是\(T=\lambda I_V\)，則對任何\(v\)，\(v\)與\(Tv\)線性相關。

必要性是顯然的。

下證充分性。已知\(ST=TS,\forall S\in\mathcal L(V)\)，先證實\(v\)和\(Tv\)必是線性相關的，若是否則，則\(v,Tv\)能夠被擴充成一組基：\(v,Tv,u_1,\cdots,u_n\)，定義這樣的\(S\in\mathcal L(V)\)，使得

\[S(av+bTv+c_1u_1+\cdots+c_nu_n)=bv, \]

有\(STv=v\)且\(Sv=0\)，由\(ST=TS\)獲得

\[STv=v=TSv=0, \]

這與\(v,Tv\)線性無關矛盾，因此\(v,Tv\)必然是線性相關的，這樣就存在一個與\(v\)相關的\(a_v\)，使得

\[Tv=a_vv, \]

下證\(a_v\)與\(v\)無關，找到另一個\(w\in V\setminus\{0\}\)，有\(Tw=a_ww\)，下證\(a_v=a_w\)。

當\(v,w\)線性相關時，有\(v=bw\)，則

\[a_vv=Tv=bTw=ba_ww=a_wv, \]

因此\(a_v=a_w\)。

當\(v,w\)線性無關時，有

\[a_{v+w}(v+w)=T(v+w)=Tv+Tw=a_vv+a_ww, \]

移項就獲得

\[a_v=a_{v+w}=a_w. \]

這說明\(a_v\)與\(v\)無關，故必有\(Tv=av\)，即\(T=aI_V\)。

第四題（3.D 17） 設\(V\)是有限維的，且\(\mathcal E\)是\(\mathcal L(V)\)的子空間使得\(\forall S\in \mathcal L(V)\)和\(T\in\mathcal E\)，都有\(ST\in\mathcal E\)和\(TS\in\mathcal E\)。證實\(\mathcal E=\{0\}\)或\(\mathcal E=\mathcal L(V)\)。

這題要從\(\mathcal L(V)\)的結構入手，注意到\(\mathcal L(V)\)是一個\(n^2\)維的線性空間。我想，從矩陣角度來作會不會更清晰一些。

必要性是顯然的，下證充分性。

設\(e_1,\cdots,e_n\)是\(V\)的一個基，每個線性映射\(T\)對應的矩陣爲\(\mathcal M(T)\)，\(\mathcal E\)中線性映射對應的矩陣構成的集合是\(\mathcal M(\mathcal E)\)。

取\(T\in\mathcal E,T\ne 0\)，則\(T\)對應的矩陣至少含有一個\(0\)元素，不妨設\(\mathcal M(T)_{j,k}\ne 0\)。

記\(\Delta _{a,b}\)指的是第\(a\)行第\(b\)列爲\(1\)，其它元素爲\(0\)的矩陣，則因爲\(\Delta_{a,j}\in\mathbb{F}^{n,n}\)，

\[\Delta_{a,j}\mathcal M(T)=\Delta_{a,k}, \]

因此\(\Delta_{1,k},\cdots,\Delta_{n,k}\in\mathcal M(\mathcal E)\)。對每個\(a\)，因爲\(\Delta_{k,b}\in\mathbb{F}^{n,n}\)，

\[\Delta_{a,k}\Delta_{k,b}=\Delta_{a,b}, \]

因此\(\Delta_{a,b}\in\mathbb{F}^{n,n}\)。在證實過程當中，\(a=1,\cdots,n\)，\(b=1,\cdots,n\)，這就證實了\(\mathcal M(\mathcal E)=\mathbb{F}^{n,n}\)。

因爲\(\mathcal L(V)\)與\(\mathbb{F}^{n,n}\)同構，因此將每個矩陣當作線性映射，就能有相同的結論，即\(\mathcal E=\mathcal L(V)\)。