Stanford機器學習筆記-8. 支持向量機(SVMs)概述

8. Support Vector Machines(SVMs)

Content

　　　　8. Support Vector Machines(SVMs)

　　　　　　8.1 Optimization Objection

　　　　　　8.2 Large margin intuition

　　　　　　8.3 Mathematics Behind Large Margin Classification

　　　　　　8.4 Kernels

　　　　　　8.5 Using a SVM

　　　　　　　　8.5.1 Multi-class Classification

　　　　　　　　8.5.2 Logistic Regression vs. SVMs

8.1 Optimization Objection

支持向量機(Support Vector Machine: SVM)是一種很是有用的監督式機器學習算法。首先回顧一下Logistic迴歸，根據log()函數以及Sigmoid函數的性質，有：

同時，Logistic迴歸的代價函數（未正則化）以下：

爲獲得SVM的代價函數，咱們做以下修改：

所以，對比Logistic的優化目標

SVM的優化目標以下：

注1：事實上，上述公式中的Cost0與Cost1函數是一種稱爲hinge損失的替代損失(surrogate loss)函數，其餘常見的替代損失函數有指數損失和對率損失，具體參見《機器學習》P129 周志華）

注2：注意參數C和λ的對應關係: C與(1 / λ)成正相關。

8.2 Large margin intuition

根據8.1中的代價函數，爲使代價函數最小，有以下結論：

現假設C很大（如C=100000），爲使代價函數最小，咱們但願

因此代價函數就變爲：

因此問題就變成：

該問題最後的優化結果是找到具備"最大間隔"(maximum margin)的劃分超平面，因此支持向量機又稱大間距分類器(large margin classifier)。那麼什麼是間隔? 爲何這樣優化就能夠找到最大間隔？首先，咱們經過圖8-1所示的二維的0/1線性分類狀況來直觀感覺。

圖8-1 SVM Decision Boundary: Linearly separable case

直觀上，應該去找位於兩類訓練樣本"正中間"的劃分超平面，即圖8-1的黑色直線(二維)，由於該劃分超平面對訓練樣本局部擾動的"容忍"性最好。例如，圖中的粉色和綠色直線，一旦輸入數據稍有變化，將會獲得錯誤的預測。換言之，這個劃分超平面所產生的分類結果是最魯棒的，對要預測數據集的泛化能力最強。而兩條藍色直線之間的距離就稱爲間隔(margin)。下一節將從數學角度來解釋間隔與最大間隔的優化原理。

8.3 Mathematics Behind Large Margin Classification

首先介紹一些數學知識。

• 2-範數(2-norm)： 也可稱長度(length)，是二維或三維空間向量長度的推廣，向量u記爲||u||。例如，對於向量u = [ u1, u2, u3, u4]，||u|| = sqrt(u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2)
• 向量內積(Vector Inner Product): 設向量a = [a1, a2, … , an]，向量b = [b1, b2, … , bn]，a和b的的內積定義爲：a · b = a1b1 + a2b2 + … + anbn 。向量內積是幾何向量數量積(點積)的推廣，能夠理解爲向量a在向量b上的投影長度(範數)和向量b的長度的乘積。

因此有：

其中是在向量上的投影長度。

因此，8.2節獲得的優化問題能夠轉爲以下形式:

分界線爲，因此可知和分界線正交(垂直)，而且當時，分界線過原點(歐式空間)。爲使目標最優（取最小值）且知足約束，應該儘量大，這樣就要求間距儘量的大。直觀的如圖8-2所示，圖左爲間距較小的狀況，此時的較小，爲知足約束，致使目標函數變大，圖右爲最大間距的狀況，此時的是最大的，因此目標能夠儘量的小。

圖8-2 兩種不一樣間距的狀況

8.4 Kernels

上述的討論都是基於線性可分的樣本，即存在一個劃分超平面能夠將訓練樣本正確分類，然而現實世界存在大量複雜的，非線性分類問題(如4.4.2節的異或/同或問題)。Logistic迴歸處理非線性問題能夠經過引入多項式特徵量做爲新的特徵量；神經網絡經過引入隱藏層，逐層進化解決非線性分類問題；而SVM是經過引入核函數(kernel function)來解決非線性問題。具體作法以下：

1. 對於給定輸出x, 規定必定數量的landmarks，記爲；
2. 將x, 做爲核函數的輸入，獲得新的特徵量，若將核函數記爲similarity()，則有

   ，其中與爲一一對應；

3. 將新的特徵量替代原有特徵量，獲得假設函數以下：

如今有兩個問題，

1. 如何選擇landmarks？
2. 用什麼樣的核函數 ?

對於第一個問題，能夠按照以下方式，即將訓練集的輸入做爲landmarks

因此特徵量的個數與訓練集的個數相等，即n = m，因此帶有核的SVM變爲以下形式：

對於第二個問題，經常使用的核函數有線性核，高斯核，多項式核，Sigmoid核，拉普拉斯核等，現以經常使用的高斯核(Gaussian)爲例。

高斯核具備以下性質：

也就是說，若是x和landmark接近，那麼核函數的值也就是新的特徵量將會接近1，而若是x和landmark距離很遠，那麼核函數的值將會接近0.

是高斯核的參數，它的大小會影響核函數值的變化快慢，具體的，圖8-3是一個二維狀況下的特殊例子，可是所含有的性質是可推廣的。即越大，核函數變化(降低)越緩慢，反之，越小，核函數變化越快。

圖8-3 參數對高斯核的影響舉例

• 如何選擇參數？

下面對SVM的參數對誤差和方差的影響作簡要分析：

• C: 因爲C和(1 / λ)正相關，結合6.4.2節對λ的分析有：

                         

                         

8.5 Using a SVM

上文簡單的介紹了SVM的優化原理以及核函數的使用方式。在實際應用SVM中，咱們不須要本身去實現SVM的訓練算法來獲得參數，一般是使用現有的軟件包(如liblinear, libsvm)。

可是下面的工做是咱們須要作的：

• 選擇參數C的值
• 選擇並實現核函數
  • 若是核函數帶參數，須要選擇核函數的參數，例如高斯核須要選擇
  • 若是無核(選擇線性核)，即給出線性分類器，適用於n大，m小的狀況
  • 選擇非線性核（如高斯核），適用於n小，m大的狀況

下面是須要注意的地方：

• 在使用核函數以前要對特徵量進行規範化
• 並非全部的函數是有效的核函數，它們必須知足Mercer定理。
• 若是想要經過訓練獲得參數C或者核函數的參數，應該是在訓練集和交叉檢驗集上進行，，參見6.3節。

8.5.1 Multi-class Classification

8.5.2 Logistic Regression vs. SVMs

 

參考：《機器學習》 周志華