二進制的原碼、反碼和補碼

本文內容約 1600 字，本文最早在公衆號：善始者實繁克終者蓋寡 中發出。

目錄

• 反碼
• 補碼
  • 從新回來
  • 如何獲得補碼？
  • 補碼轉爲十進制
  • 補碼系統的數字表示方式
  • 補碼系統的用處
  • 補碼的原理
• 參考內容

從新回來

目前是一名在校的大一學生，有時想寫些內容出來，但苦於腦子裏沒東西。提筆又落筆，遲遲沒有內容產出。想起以前我還在這個公衆號裏立下說：天天一篇文章。誒，又擡頭看了看這個公衆號的名字，誒。

接下來，打算重拾公衆號，嘗試輸出內容。另外，公衆號的介紹也修改了：

前端初學者、設計門外人，一切纔剛剛開始…

通過一段時間的思考和了解後，我把本身定位爲**「全棧偏前端軟件工程師」**，可是畢竟這條路沒有走過，具體能走到哪一步，將來具體如何不是很清晰。不過如今先踏踏實實從前端入手，一點點搭建本身的神經網絡。

本篇內容講一講計算機的一些基礎：

反碼

簡單說：

• 正數的反碼等於其原碼。
• 負數的反碼，是保留其符號位後，其他各位原碼的數值取反的結果，也就是 0 變爲 1，1 變爲 0。

補碼

在計算機系統中，數值一概使用補碼來表示和存儲。

一、如何獲得補碼？

簡單說就是把原二進制碼，先按位取反（0 變 1，1 變 0）後，再加 1。

下面用「有符號 4 位二進制」來舉個例子：

最後的結果能夠看到，這個數字的最高位爲 1，確實是負數。一個正數的補碼也就是相對應的負數。要是咱們反過來運算：

也就是一個負數的補碼就是其對應的正數。

補碼轉爲二進制原碼，也能夠先減 1，再取反。

簡單總結爲：a 的補碼就是 -a （a 能夠是正負數）

不過有兩個數的補碼等於自己：一個是 0，另外一個是該「有符號位的二進制」所能表示的最大負數（100……）

二、補碼轉爲十進制

直接舉例說明：

補碼轉十進制的規則，也就是除了「最高位」外，「其餘位」對應數字的處理和通常二進制相同。若是「最高位」爲 1，那麼它表示的數字爲 -2^(n−1)，n 表明位數，最終將各個結果相加就是十進制數了。

三、補碼系統的數字表示方式

上面舉例介紹瞭如何獲得補碼。如今來講說「補碼系統」中的數字是如何表示的：

• 正數和 0：補碼數字與二進制同樣，同時最高位的恆爲 0。
  • 因此 4 位的最大補碼正數爲 0111（7）
• 負數：獲得補碼的步驟上文提過了，這個數字的最高位恆爲 1。
  • 因此 4 位的最小補碼負數爲 1000（-8）

那麼補碼數字所能表達的數字範圍爲：

好比 8 位的補碼數字，能夠表示範圍爲：-128~127。

爲何最大值要減去一個 1？有符號位的 n 位二進制能夠用來表示兩組數，一組是大於等於 0，另外一組小於 0。

由於 0 的存在，因此須要減去一個 1。

四、補碼系統的用處

不是說計算機是用二進制的嗎？幹嗎要搞一個「補碼系統」？

補碼系統的最大優勢是能夠在處理加減乘除法時只用一種加法電路。

咱們先來試試用反碼來計算減法：

答案正確啊。那咱們繼續看看反碼的特殊狀況：

這就出現問題了，出現了 -0 這種狀況。雖然說 -0 和 +0 應該都是 0。可是 0 帶着符號是沒有任何意義。

解決這個問題，就須要補碼了：

正好能夠計算出 -1 這個答案。

這裏沒有演示原碼的減法，你不如動手去試試。

五、補碼的原理

維基百科中是這樣說的：

指定 n 位長，那麼就有 2^n 個可能的值，加減法運算都存在上溢出與下溢出的狀況，實際上都等價於**「模 2^n」**的加減法運算。這對於 n 比特無符號整數類型或是 n 比特有符號整數類型都一樣適用。

嗯。

看了一堆寫原理資料，仍是沒怎麼搞懂，總之原理和餘數的思想有關。

因此我如今所處的階段是：知其然，「知其因此然」得還不怎麼透徹。

可是我仍是要講一講。

看了阮一峯的網絡日誌《關於2的補碼》這一篇文章後，以爲文章中的解釋仍是十分清晰的。那我就用幾張圖來講明一下。在一個 4 位的二進制中，進行 5 - 6 的運算，咱們能夠把 5 - 6 轉化爲 5 + (-6)。

咱們已經分別知道 5 和 6 的原碼，要獲得 -6 咱們能夠用 0 - 6 獲得 -6 的二進制碼：

可是 0 根本不夠減啊。那咱們想一想，在作十進制減法的時候，要是這一位不夠減，怎麼辦，答案是問上一位借一個 1。那 0000 去借一位 變爲 1 0000 ：

咱們又注意到，1 0000 實際上是能夠用 1111+ 1 來表示的，那把算式變爲：

第一步操做就至關因而按位取反，第二步再 +1，這個過程和獲得反碼的步驟徹底一致。

參考內容

• 阮一峯的網絡日誌：www.ruanyifeng.com/blog/2009/0…
• 維基百科英文詞條：en.wikipedia.org/wiki/Two's_…
• 維基百科中文詞條：zh.wikipedia.org/wiki/二補數
• 極客時間「程序員的數學基礎課」中的「課外加餐（一）」