卡特蘭數

1 引入問題

　　對於一顆有N個節點的二叉樹，能夠變化成多少種形態呢？例如：一、三、五、六、九、10能夠組成多少種不一樣的二叉樹形態？

2 卡特蘭數

　　百度百科搜「卡特蘭數」看了半天沒看懂，可是搜了一個網頁後看懂了遞推思路了：

　　對於一個規模爲n的問題，先找一個元素固定下來，而後將剩下的n-1個元素拆分紅兩個子問題。卡特蘭數一些項：h(0)＝1(規定)，h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862，h(10)＝16796，h(11)＝58786，h(12)＝208012，h(13)＝742900，h(14)＝2674440，h(15)＝9694845 ····················　　

　　

　　關於公式的說明，參考下網友這篇文章《卡特蘭數》

3 二叉樹形態推理

　　常規套路，先選一個點當根節點，用f(n)表示n個節點的二叉樹不一樣的形態數，假設左子樹有i個節點，右子樹有n-i-1個節點，那麼根據乘法原理，就有f(i)*f(n-i-1)種方案.把每一個點爲根的方案數加起來就是答案：f(n) = Σf(i)*f(n-i-1)。

4 其餘相似問題

4.1 AB排列問題

 　　有n個A和n個B排成一排，從第1個位置開始到任何位置，B的個數不能超過A的個數，問：這樣的排列有多少種？

 　　分析：從公式入手。符合要求的排列數=總的排列數-不符合要求的排列數。由於要在2n個位置中選擇n個位置放A，因此總的排列數爲C(2n,n).再來看如何求不符合要求的排列數。首先確定是要找不符合要求的排列有什麼特徵，一個不符合要求的排列的特徵是：存在一個奇數位2*k+1,有k+1個B，k個A，根據這個還不能獲得答案。將2*k+2到n*2位上的A,B互換一下，能夠發現最後獲得的排列必定是有n+1個B，n-1個A的，也就是說一旦一個排列通過這種操做後有n+1個B，那麼這個排列就是不合法的，由於變換前的排列和變換後的排列是一一對應的，咱們只須要求出變換後的排列有多少種，就能知道變換前的排列有多少種。即C(2n,n+1)種，答案爲C(2n,n) - C(2n,n+1)。正好就是卡特蘭數。

4.2 乘法括號問題

　　乘法加括號：對於連乘a1*a2*a3*......*an,加了括號後就可改變它的運算順序。問：有多少種不一樣的運算順序？

　　分析：常規套路，先選一個乘號當根節點，構造二叉樹，乘號左邊就是它的左子樹，乘號右邊就是它的右子樹，剩下的就轉化爲了例1.

4.3 歐拉多邊形分隔問題

　　設有一個凸多邊形，能夠用n-3條不相交的對角線將n邊形分紅n-2個互相沒有重疊的三角形，例如n=5，有5種方法。

　　分析：仍是要先找一個元素給固定下來，對於邊V1Vn,任選一頂點Vk，向V1和Vn連邊。將三角形V1VnVk分割出去，剩下兩個多邊形，一個多邊形有頂點{1，2，3，…，k}，因此是k邊形；另外一個多邊形有頂點{k，k+1,…,n}，因此是（n-k+1）邊形。這就是類卡特蘭數了.最後的答案爲f(n) = Σf(k)*f(n-k+1)。

　　參考《卡特蘭數之凸多邊形的三角分隔法》