二進制中補碼計算簡單詳實的講解

本文說明一個基本的問題，補碼的問題。
須要說明一點補碼是對負整數在計算機中存儲的一種形式；另外一種形式是負數在計算機中能夠用符號+負數絕對值的形式表示一個負數；好比（-3: 1000 0011存儲）可是這種表示的負數有兩個零+0，-0，最要命的一點是不能作算術運算。好比10-3=10+（-3）=0000 1010+ 1000 0011=1000 1101=-13顯然是錯的。因此負整數必須以補碼存儲。
負數在計算機中如何表示？
舉例來講，+8在計算機中表示爲二進制的1000，那麼-8怎麼表示呢？ 
很容易想到，能夠將一個二進制位（bit）專門規定爲符號位，它等於0時就表示正數，等於1時就表示負數。好比，在8位機中，規定每一個字節的最高位爲符號位。那麼，+8就是00001000，而-8則是10001000。 
可是，隨便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機內部採用2的補碼（Two’s Complement）表示負數。

在講補碼以前簡單介紹機器數，真值，原碼和反碼的背景。
一、機器數
一個數在計算機中的二進制表示形式,  叫作這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數0，負數爲1。
1
好比，十進制中的數 +3 ，計算機字長爲8位，轉換成二進制就是0000 0011。若是是 -3 ，就是 1111 1101 。那麼，這裏的 00000011 和 1111 1101 就是機器數。 機器數包含了符號和數值部分。

二、真值
由於第一位是符號位，因此機器數的形式值就不能很好的表示真正的數值。例如上面的有符號數 1111 1101，其最高位1表明負，其真正數值是 -3 而不是形式值253（1111 1101按無符號整數轉換成十進制等於253）。因此，爲區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱爲機器數的真值。 
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –0111 1111 = –127；這裏所說的好比-3二進制代碼爲10000011，就是咱們計算機裏面對-3表示的源碼。下面介紹源碼 
首先說明一點 
在計算機內，有符號數有3種表示法：原碼、反碼和補碼。

三、原碼
原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其他位表示值. 好比若是是8位二進制 
[+1]原 = 0000 0001 
[-1]原 = 1000 0001 
由於第一位是符號位, 因此如果8位二進制數，其取值範圍就是: 
[1111 1111 , 0111 1111] 
即[-127 , 127] 
原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。

4 、反碼
反碼錶示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。 
[+1] = [ 00000001 ]原碼 = [ 00000001 ]反碼； 
[-1] = [ 10000001 ]原碼 = [ 11111110 ]反碼； 
可見若是一個反碼錶示的是負數, 人腦沒法直觀的看出來它的數值. 一般要將其轉換成原碼再計算。

什麼是二進制的補碼？
註明：正數的補碼與負數的補碼一致，負數的補碼符號位爲1，這位1便是符號位也是數值位，而後加1

補碼借鑑的模概念，雖然理解起來有點晦澀難懂。能夠跳過
模的概念：把一個計量單位稱之爲模或模數。例如，時鐘是以12進制進行計數循環的，即以12爲模。 
在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在捨去模12後，成爲（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可當作從0點出發順時針撥2格（加上2小時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。所以，在模12的前提下，-10可映射爲+2。因而可知，對於一個模數爲12的循環系統來講，加2和減10的效果是同樣的；所以，在以12爲模的系統中，凡是減10的運算均可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（注：計算機的硬件結構中只有加法器，因此大部分的運算都必須最終轉換爲加法）。10和2對模12而言互爲補數。同理，計算機的運算部件與寄存器都有必定字長的限制（假設字長爲16），所以它的運算也是一種模運算。當計數器計滿16位也就是65536個數後會產生溢出，又從頭開始計數。產生溢出的量就是計數器的模，顯然，16位二進制數，它的模數爲2^16=65536。在計算中，兩個互補的數稱爲「補碼」。好比一個有符號8位的數能夠表示256個數據，最大數是0 1 1 1 1 1 1 1（+127），最小數1 0 0 0 0 0 0 0 （-128）；那麼第255個數據，加2和減254都是同樣的效果得出的結果是第一個數據 ，因此2和254是同樣的效果。對於255來講2和254是互補的數。 
求一個正數對應補碼是一種數值的轉換方法，要分二步完成： 
第一步，每個二進制位都取相反值，即取得反碼；0變成1，1變成0。好比，00001000的反碼就是11110111。 
第二步，將上一步獲得的反碼加1。11110111就變成11111000。因此，00001000的二進制補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機（8位機）中就是用11111000表示。 
不知道你怎麼看，反正我以爲很奇怪，爲何要採用這麼麻煩的方式表示負數，更直覺的方式難道很差嗎？

二進制補碼的好處
首先，要明確一點。計算機內部用什麼方式表示負數，實際上是無所謂的。只要可以保持一一對應的關係，就能夠用任意方式表示負數。因此，既然能夠任意選擇，那麼理應選擇一種用的爽直觀方便的方式。 
二進制的補碼就是最方便的方式。它的便利體如今，全部的加法運算可使用同一種電路完成。 
仍是以-8做爲例子。假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另外一種是2的補碼錶示法，即11111000。請問哪種表示法在加法運算中更方便？隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?16的二進制表示是 00010000，因此用直覺表示法，加法就要寫成： 
　０００１００００ 
＋１０００１０００原碼形式-8 
－－－－－－－－－ 
　１００１１０００ 
能夠看到，若是按照正常的加法規則，就會獲得10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種狀況下，正常的加法規則不適用於正數與負數的加法，所以必須制定兩套運算規則，一套用於正數加正數，還有一套用於正數加負數。從電路上說，就是必須爲加法運算作兩種電路。因此用原碼錶示負數是不行的。 
如今，再來看二進制的補碼錶示法。 
　０００１００００ 
＋１１１１１０００補碼形式-8 
－－－－－－－－－ 
１００００１０００ 
能夠看到，按照正常的加法規則，獲得的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。咱們已經假定這是一臺8位機，所以最高的第9位是一個溢出位，會被自動捨去。因此，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼錶示法能夠將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就能夠實現所有整數的加法。

二進制補碼的本質，本質是用來表示負整數的
在回答二進制補碼爲何能正確實現加法運算以前，咱們先看看它的本質，也就是那兩個求補碼步驟的轉換方法是怎麼來的。下面描述了一個正數怎麼求它對應負數在計算機的表達方式。好比128，正數爲10000000，可是驚奇的發現-128也是10000000。可是這裏因爲屬於數據類型的限定，第八位一樣一個1表明不一樣的含義，前面的 1是數值位，後面數的 1是符號位。 
要將正數轉成對應的負數，其實只要用0減去這個數就能夠了。好比，-8其實就是0-8。用模數的概念解釋以下圖 
 
已知8的二進制是00001000，-8就能夠用下面的式子求出： 
　００００００００ 
－００００１０００ 
－－－－－－－－－- - - - 
由於00000000（被減數）小於0000100（減數），因此不夠減。請回憶一下小學算術，若是被減數的某一位小於減數，咱們怎麼辦？很簡單，問上一位借1就能夠了。 
因此，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數實際上是100000000，這是重點；算式也就改寫成： 
１００００００００ 
－００００１０００ 
－－－－－－－－－- - - 
　１１１１１０００ 
進一步觀察，能夠發現可分拆爲100000000 = 11111111 + 1，因此上面的式子能夠拆成兩個： 
１１１１１１１１ 
－００００１０００ 
－－－－－－－－－ 
　１１１１０１１１取反 
＋０００００００１加一 
－－－－－－－－－ 
　１１１１１０００ 
二進制的補碼兩個轉換步驟就是這麼來的。 
舉個例子，好比-128補碼的由來，先把正整數128二進制表示出來10000000求-128的補碼 
1 1 1 1 1 1 1 1 
-1 0 0 0 0 0 0 0 
－－－－－－－－－ 
0 1 1 1 1 1 1 1 
+0 0 0 0 0 0 0 1 
－－－－－－－－－ 
1 0 0 0 0 0 0 0 
即-128的補碼是10000000。8位的結構能表示的最小數是-128； 
因此能夠總結求補碼的範式是這樣的： 
求n位系統的一個數正數A : 01101101101……….11101100（n位二進制），怎麼求他的補碼呢，就用n位的1111111111111111111…..111(n位) - 11101101101……….11101100（n位二進制） + 1 = A的補碼就行啦！可是 
若是一個1111111111111…..111111(n位全爲1的正整數的補碼)，要用1111111111111…….11111(n+1位) - 1111111111111…..111111(n位全爲1的正整數) +1 才能求的她對應的補碼。 
如uint16 A =200, uint16 B =65535,那麼C =A-B; 
65535的補碼：正數65535爲1111 1111 1111 1111，進行下面的計算求得B的補碼即-B；先展現有補碼符號位，即補碼有最高位位1的； 
1 1111 1111 1111 1111 -1111 1111 1111 1111 +1 =1 0000 0000 0000 0001,至關於被減數是10 0000 0000 0000 0000（18位） =1 1111 1111 1111 1111 +1 
由於A和B 都是16位的無符號數，因此65535的補碼最高位捨去，至關於被減數是1 0000 0000 0000 0000 =1111 1111 1111 1111 +1，便可以用上面的範式方法，可是這樣-B就沒有體現它的負數的符號位了；固然這是由於16位運算超出16位的位都捨去了。即-B=1;即A-B= 200+1 =201。其實也能夠用模數概念解釋A -B；以下圖正數的模數 

爲何正數加法也適用於二進制的補碼？
實際上，咱們要證實的是，X-Y或X+(-Y)能夠用X加上Y的2的補碼(-Y)完成。 
Y的二進制補碼等於(11111111-Y)+1。因此，X加上Y的2的補碼，就等於：X + (11111111-Y) + 1；咱們假定這個算式的結果等於Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1。 
接下來，分紅兩種狀況討論。 
第一種狀況，若是X小於Y，那麼Z是一個負數。這時，咱們就對Z採用補碼的逆運算，就是在作一次求補碼運算，求出它對應的正數絕對值，只要前面加上負號就好了。因此， 
Z = -[11111111-Z+1] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1)+1)] = X - Y;這裏若是X Y Z都是無符號型的，且X < Y 那麼Z 最終獲得的數是|X-Y|距離的絕對值了，好比X=1,Y= 255,那麼Z=2,由於從255到1只要加兩次就到了。這裏你不要問我爲何，這裏就用到上面的模概念。 
第二種狀況，若是X大於Y，這意味着Z確定大於11111111，可是咱們規定了這是8位機，最高的第9位是溢出位，必須被捨去，捨去至關於減去嗎！因此減去100000000。因此， 
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y 
這就證實了，在正常的加法規則下，能夠利用2的補碼獲得正數與負數相加的正確結果。換言之，計算機只要部署加法電路和補碼電路，就能夠完成全部整數的加法。