二進制的補碼

今天在學習C Primer Plus(第五版)中文版.pdf的時候遇到這麼個問題，先上代碼：

#include <stdio.h>
#define PAGES 336
#define WORDS 65618
int main(void)
{
        short num = PAGES;
        short mnum = -PAGES;

        printf("num as short and unsigned short:%hd %hu\n",num,num);
        printf("-num as short and unsigned short:%hd %hu\n",mnum,mnum);
        printf("num as int and char:%d %c\n",num,num);
        printf("WORDS as int,short,and char:%d %hd %c\n",WORDS,WORDS,WORDS);return 0;
}

結果：

num as short and unsigned short:336 336
-num as short and unsigned short:-336 65200
num as int and char:336 P
WORDS as int,short,and char:65618 82 R

請看我標紅的部分，其實我蠻想不明白的，爲何-336的無符號整數是65200呢？書上說是2的補碼（書中描述）：數字0到32767表明它們自己，而數字32768到65535則表明負數，65535表明-1，65534表明-2，依次類推，所以-336由65536-336，也即65200來表示；本寶寶表示真心沒看懂啥意思，而後就在網上各類找二進制的補碼是啥意思，下面我們就來看看什麼是二進制的補碼

我試驗的計算及環境假設是8位的，那接下來我就拿計算機是8位做基礎來說解：

1、負數在計算機中如何表示

　　以前我寫了一篇博客，裏面是計算c語言整數類型的取值範圍的額，二進制中區分正負數的方法是看二進制的最高位是0仍是1，1爲負數，0爲正數

　　好比：127的二進制是01111111，而-127的二進制是 10000001（011111111 - 先取反，再加1 ->10000000+1 = 10000001），從這裏能夠看出127的最高位是0，而-127的最高位是1

2、什麼是二進制補碼

　　取一個數的二進制補碼須要兩步：

　　1>.每一個二進制位都取相反的值，也就是二進制位是1的，補碼就是0，二進制位是0的，補碼就是1

　　2>.再把取反的二進制數轉換成十進制，加上1，最後的結果就是這個數的補碼的十進制數

　　舉例：取-127的二進制補碼(8位機)

　　　　二進制數：01111111

　　　　補碼：10000000

　　　　結果：補碼 10000000 + 1 = 10000001(129)

　　　　也就是說-127在計算機(8位機)中10000001（寫到這裏，我忽然有點明白C Primer Plus書中描述的啥意思：0-127表明它自己，128-255表明負數，那-127就等於256-127=129）

　　那可能不少人會說：爲何是這樣啊？雖然知道怎麼計算了，可是不知道爲何是這麼計算的，那麼接下來就來講說二進制補碼的原理

3、二進制補碼的原理

　　那你們都知道負數怎麼來的，好比：A-B，那A比B小，結果就會是負數，這就有不少狀況了，咱不討論，就好比給你一個負數，那麼最直接的你確定會想到一個表達式了，好比給你個-127，那表達式就是0-127的來的，那咱們把他轉換成二進制來運算一下：

　　預想結果：-127

　　十進制表達式：0-127

　　二進制表達式：00000000(0) - 01111111(127)

　　之前小學數學當被減數大於減數的時候都要向上借一位來減的，那麼接下來就是借位（）

　　重點：這裏計算的時候二進制的位數是有規定的，好比-127，它是1111111 由7個1的二進制，那同窗就用7個0的二進制去減，結果借一位變成了10000000(128)-1111111(127) = 1，而後在加1等於2，結果-127的補碼就是00000010(2)，這樣但是錯的，必定要遵照一個標準，那就是當前計算機是多少位的就借多少位加1位，那麼好比-10是1010,就是00001010,借位就得在第9位上借，也就是100000000,結果就是246(11110110)

　　借位進行運算：

　　　　1>.100000000(256) - 01111111(127) = 10000001(129)

　　　　2>.100000000(256) = 11111111(255) + 1;

　　　　　　11111111(255) - 01111111(127) = 10000000(128)

　　　　　　10000000(128) + 1 = 10000001(129)

　　上面就是二進制補碼的簡單計算過程

4、二進制補碼有哪些好處呢？

　　感受不就是一個負數而已，非要搞的這麼彎彎繞，我反正是暈了，那接下來就看下二進制補碼的好處

　　那咱們以前說的判斷最高位是1仍是0來區分正負，那接下來咱們就用兩種表示法來計算做比較：

　　舉例：-10

　　表達式：20 + (-10)

　　1>.最高位區分正負：-10的二進制數爲10001010

　　　　二進制計算：00010100 + 10001010 = 10011110

　　　　10011110轉換成十進制是30，根據最高位區分正負，結果就是-30

　　2>.再來看看二進制補碼的方式進行計算：-10的二進制補碼(11110101 + 1 = 11110110(246))

　　　　二進制計算：00010100 + 11110110 = 100001010 

　　　　而我們剛纔已經說了，假設計算機是8位的，那麼這個結果超過8位，第九位會被捨棄，也就是00001010，結果就是10

5、爲何正數加法適用於二進制補碼呢？

　　接下來咱們求證一下X-Y(x + (-Y))這個表達式，相信你們就明白了（8位機）

　　Y的二進制補碼由上面的講解你們都知道是：(11111111 - Y) + 1 ,因此也就是X加上Y的二進制補碼，表達式能夠寫成以下格式：X + (11111111 - Y) + 1

　　獲得這個表達式就好辦了，接下來咱們分紅兩種狀況來解釋：

　　1>.那就是X小於Y，那麼結果確定是個負數了，咱們採用二進制的補碼的逆運算，求出它對應的正絕對值，再在前面加一個負號就能夠了

　　　　第一步：計算Z、X、Y的二進制補碼的表達式 Z = -((11111111 - Z) + 1);X = (11111111 - X) + 1;Y = (11111111 - Y) + 1;

　　　　第二步：根據表達式X + (11111111 - Y) + 1來替換計算：-( ( ( 11111111 - X) + 1 ) - ( ( 11111111 - Y ) + 1 ) ) = -(11111111 - X + 1 - 11111111 + Y - 1) = -( -X + Y) = X - Y; 

　　2>.X大於Y，那結果確定是正數，那意味着Z確定大於11111111，那根據8位機，第九位溢出了，就要捨去，表達式爲(不太明白...)：

　　　　Z = Z - 100000000 = X + (11111111 - Y) + 1 - 100000000 = X - Y;

　　文章出自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.htm