機器學習：Python中如何使用最小二乘法

      之因此說」使用」而不是」實現」，是由於python的相關類庫已經幫咱們實現了具體算法，而咱們只要學會使用就能夠了。隨着對技術的逐漸掌握及積累，當類庫中的算法已經沒法知足自身需求的時候，咱們也能夠嘗試經過本身的方式實現各類算法。

      言歸正傳，什麼是」最小二乘法」呢？

      定義：最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術，它經過最小化偏差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。

      做用：利用最小二乘法能夠簡便地求得未知的數據，並使得這些求得的數據與實際數據之間偏差的平方和爲最小。

      原則：以」殘差平方和最小」肯定直線位置(在數理統計中，殘差是指實際觀察值與估計值之間的差)

      數學公式：

 

      基本思路：對於一元線性迴歸模型, 假設從整體中獲取了n組觀察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn），對於平面中的這n個點，可使用無數條曲線來擬合。而線性迴歸就是要求樣本回歸函數儘量好地擬合這組值，也就是說，這條直線應該儘量的處於樣本數據的中心位置。所以，選擇最佳擬合曲線的標準能夠肯定爲：使總的擬合偏差（即總殘差）達到最小。

      實現代碼以下，代碼中已經詳細的給了註釋：

##最小二乘法
import numpy as np   ##科學計算庫 
import scipy as sp   ##在numpy基礎上實現的部分算法庫
import matplotlib.pyplot as plt  ##繪圖庫
from scipy.optimize import leastsq  ##引入最小二乘法算法

'''
     設置樣本數據，真實數據須要在這裏處理
'''
##樣本數據(Xi,Yi)，須要轉換成數組(列表)形式
Xi=np.array([6.19,2.51,7.29,7.01,5.7,2.66,3.98,2.5,9.1,4.2])
Yi=np.array([5.25,2.83,6.41,6.71,5.1,4.23,5.05,1.98,10.5,6.3])

'''
    設定擬合函數和誤差函數
    函數的形狀肯定過程：
    1.先畫樣本圖像
    2.根據樣本圖像大體形狀肯定函數形式(直線、拋物線、正弦餘弦等)
'''

##須要擬合的函數func :指定函數的形狀
def func(p,x):
    k,b=p
    return k*x+b

##誤差函數：x,y都是列表:這裏的x,y更上面的Xi,Yi中是一一對應的
def error(p,x,y):
    return func(p,x)-y

'''
    主要部分：附帶部分說明
    1.leastsq函數的返回值tuple，第一個元素是求解結果，第二個是求解的代價值(我的理解)
    2.官網的原話（第二個值）：Value of the cost function at the solution
    3.實例：Para=>(array([ 0.61349535,  1.79409255]), 3)
    4.返回值元組中第一個值的數量跟須要求解的參數的數量一致
'''

#k,b的初始值，能夠任意設定,通過幾回試驗，發現p0的值會影響cost的值：Para[1]
p0=[1,20]

#把error函數中除了p0之外的參數打包到args中(使用要求)
Para=leastsq(error,p0,args=(Xi,Yi))

#讀取結果
k,b=Para[0]
print("k=",k,"b=",b)
print("cost："+str(Para[1]))
print("求解的擬合直線爲:")
print("y="+str(round(k,2))+"x+"+str(round(b,2)))

'''
   繪圖，看擬合效果.
   matplotlib默認不支持中文，label設置中文的話須要另行設置
   若是報錯，改爲英文就能夠
'''

#畫樣本點
plt.figure(figsize=(8,6)) ##指定圖像比例： 8：6
plt.scatter(Xi,Yi,color="green",label="樣本數據",linewidth=2) 

#畫擬合直線
x=np.linspace(0,12,100) ##在0-15直接畫100個連續點
y=k*x+b ##函數式
plt.plot(x,y,color="red",label="擬合直線",linewidth=2) 
plt.legend(loc='lower right') #繪製圖例
plt.show()

  結果以下所示： 

  輸出結果：

      k= 0.900458420439 b= 0.831055638877
      cost：1
      求解的擬合直線爲:
      y=0.9x+0.83

  繪圖結果：

      

 

 

    補充說明：簡單的列舉了直線的狀況，曲線的求解方式相似(在另外一篇博文中舉例了拋物線)，可是曲線會存在過分擬合的狀況，在之後的博客中會講到。