關於旋轉（Rotation）

 

關於旋轉（Rotation）

 

不少萌新在接觸計算機圖形學的時候，不明白爲啥要用四元數來表示旋轉角度，那這篇文章主要從比較各大旋轉角度，在比較中突出四元數的優勢和實用。

 

在計算機圖形學中，一個物體的位置很容易肯定，直接拿到position就能夠準確地定位物品的位置，可是其方向（orientation）是一個值得探討的話題。那麼經過旋轉角度來能夠定義兩兩orientation之間的改變。「朝向」是狀態，「旋轉」是操做。

關於旋轉這個話題，接下來分紅三個步驟，由淺入深地來討論：

1，旋轉矩陣

假設當前的朝向方向是 (x, y, z)    那麼旋轉能夠由旋轉矩陣獲得：

沿着X軸旋轉：

沿着y軸旋轉：

沿着z軸旋轉：

先沿着X軸轉動而後在沿着Y軸轉動，極可能就會致使一個問題萬向節死鎖問題（Gimbal Lock）

　　補充： 出現Gimbal Lock的本質緣由在於：當第二次旋轉角度爲90度時，第三個軸和第一個軸轉到了同個方向，所以缺乏了一個自由度，致使了運動空間的限制。

 

取代上面方案的是沿着任意軸進行旋轉特定的角度 

但這種方法也是不能徹底解決萬向節死鎖問題

 

 

2，歐拉角

針對上面的旋轉問題，旋轉數據量大，且存在問題，那使用歐拉角 可使用vec3來存儲一個歐拉角

Vec3 EulerAngles(RotationX, RotationY, RotationZ);

歐拉角能夠分爲三個部分，俯仰角：圍繞x軸的pitch，偏航角：圍繞y軸的yaw，滾轉角：圍繞z軸的roll，

 

 

使用歐拉角能夠表示任何種類的旋轉角度。可是仍存在着一個歐拉角的問題：

對兩個朝向進行插值比較難，簡單對x，y，z簡單插值獲得結果不理想；

實施屢次旋轉很複雜且不許確，必須計算出最終的旋轉矩陣，而後據此推測歐拉角

不一樣角度可產生一樣的旋轉；

針對有些操做會很複雜；如繞指定的軸旋轉N角度。

 

3，四元數，表示旋轉的好工具。

四元數是由4個數[x, y, z, w]構成，表示了以下的旋轉

x = RotationAxis.x * sin(RotationAngle / 2)

y = RotationAxis.y * sin(RotationAngle / 2)

z = RotationAxis.z * sin(RotationAngle / 2)

w = cos(RotationAngle / 2)

其中 RotationAxis 旋轉軸，RotationAngle 旋轉的角度。 

這樣四元數中實際上存儲了一個旋轉軸和一個旋轉角度。其中xyz分別表明了各個軸上的旋轉份量。

其中[0, 0, 0, 1]表示單位四元數 (unit quaternion)，表示沒有旋轉。

 

3. （1）如何從兩個方向向量獲得旋轉角度：

　　　　　　r = v1 X v2 是旋轉軸

　　　　　　O = acos(v1 * v2)  是旋轉角度 

　　　　而後帶入上面的公式便可。

 

3.（2）若是先轉動了q1,再轉動了q2, 那麼結果轉動了q’ = q2 * q1。

 

3.（3） 

 

四元數(quaternion)的好處是：使用角度和座標軸的表示方法來防止了Gimbal lock的出現；避免了旋轉矩陣的運算量和數據量；能夠很容易的插值操做