Catalan 數

問題描述：卡塔蘭數，是組合數學中一個常出如今各類計數問題中出現的數列。輸入一個整數n，計算h(n)。其遞歸式以下：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2，h(0) = h(1) = 1)    該遞推關係的解爲：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

        思路：直接根據遞歸式，寫出相應的算法。

 

 

        參考代碼：

 

//函數功能: 計算Catalan的第n項
//函數參數: n爲項數
//返回值:   第n個Catalan數
int Catalan(int n)
{
    if(n <= 1)
        return 1;

    int *h = new int [n+1]; //保存臨時結果
    h[0] = h[1] = 1;        //h(0)和h(1)
    for(int i = 2; i <= n; i++)    //依次計算h(2),h(3)...h(n)
    {
        h[i] = 0;
        for(int j = 0; j < i; j++) //根據遞歸式計算 h(i)= h(0)*h(i-1)+h(1)*h(i-2) + ... + h(i-1)h(0)
            h[i] += (h[j] * h[i-1-j]);
    }
    int result = h[n]; //保存結果
    delete [] h;       //注意釋放空間
    return result;
}

//函數功能: 計算Catalan的第n項
//函數參數: n爲項數
//返回值:   第n個Catalan數
int Catalan(int n)
{
	if(n <= 1)
		return 1;

	int *h = new int [n+1]; //保存臨時結果
	h[0] = h[1] = 1;        //h(0)和h(1)
	for(int i = 2; i <= n; i++)    //依次計算h(2),h(3)...h(n)
	{
		h[i] = 0;
		for(int j = 0; j < i; j++) //根據遞歸式計算 h(i)= h(0)*h(i-1)+h(1)*h(i-2) + ... + h(i-1)h(0)
			h[i] += (h[j] * h[i-1-j]);
	}
	int result = h[n]; //保存結果
	delete [] h;       //注意釋放空間
	return result;
}

 

       應用1描述：n對括號有多少種匹配方式？

       思路：n對括號至關於有2n個符號，n個左括號、n個右括號，能夠設問題的解爲f(2n)。第0個符號確定爲左括號，與之匹配的右括號必須爲第2i+1字符。由於若是是第2i個字符，那麼第0個字符與第2i個字符間包含奇數個字符，而奇數個字符是沒法構成匹配的。

       經過簡單分析，f(2n)能夠轉化以下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。簡單解釋一下，f(0) * f(2n-2)表示第0個字符與第1個字符匹配，同時剩餘字符分紅兩個部分，一部分爲0個字符，另外一部分爲2n-2個字符，而後對這兩部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0個字符與第3個字符匹配，同時剩餘字符分紅兩個部分，一部分爲2個字符，另外一部分爲2n-4個字符。依次類推。

       假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。

       應用2描述：矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？

       思路：能夠這樣考慮，首先經過括號化，將P分紅兩個部分，而後分別對兩個部分進行括號化。好比分紅(a1)×(a2×a3.....×an)，而後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括號化；又如分紅(a1×a2)×(a3.....×an)，而後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括號化。

       設n個矩陣的括號化方案的種數爲f(n)，那麼問題的解爲

        f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分紅(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分，而後分別括號化。

       計算開始幾項，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞歸式，不難發現f(n)等於h(n-1)。

      應用3描述：一個棧(無窮大)的進棧序列爲1，2，3，…，n，有多少個不一樣的出棧序列?

      思路：這個與加括號的很類似，進棧操做至關因而左括號，而出棧操做至關於右括號。n個數的進棧次序和出棧次序構成了一個含2n個數字的序列。第0個數字確定是進棧的數，這個數相應的出棧的數必定是第2i+1個數。由於若是是2i，那麼中間包含了奇數個數，這奇數個確定沒法構成進棧出棧序列。

       設問題的解爲f(2n)， 那麼f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0個數字進棧後當即出棧，此時這個數字的進棧與出棧間包含的數字個數爲0，剩餘爲2n-2個數。f(2)*f(2n-4)表示第0個數字進棧與出棧間包含了2個數字，至關於1 2 2 1，剩餘爲2n-4個數字。依次類推。

       假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。

       應用4描述：n個節點構成的二叉樹，共有多少種情形？

       思路：能夠這樣考慮，根確定會佔用一個結點，那麼剩餘的n-1個結點能夠有以下的分配方式，T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0)，設T(i, j)表示根的左子樹含i個結點，右子樹含j個結點。

       設問題的解爲f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1，那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式，不難發現f(n)等於h(n)。

       應用5描述：在圓上選擇2n個點，將這些點成對鏈接起來使得所獲得的n條線段不相交的方法數？

       思路：以其中一個點爲基點，編號爲0，而後按順時針方向將其餘點依次編號。那麼與編號爲0相連點的編號必定是奇數，不然，這兩個編號間含有奇數個點，勢必會有個點被孤立，即在一條線段的兩側分別有一個孤立點，從而致使兩線段相交。設選中的基點爲A，與它鏈接的點爲B，那麼A和B將全部點分紅兩個部分，一部分位於A、B的左邊，另外一部分位於A、B的右邊。而後分別對這兩部分求解便可。

       設問題的解f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連，此時位於它們右邊的點的個數爲0，而位於它們左邊的點爲2n-2。依次類推。

       f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。

      應用6描述：求一個凸多邊形區域劃分紅三角形區域的方法數？

      思路：以凸多邊形的一邊爲基，設這條邊的2個頂點爲A和B。從剩餘頂點中選1個，能夠將凸多邊形分紅三個部分，中間是一個三角形，左右兩邊分別是兩個凸多邊形，而後求解左右兩個凸多邊形。

      設問題的解f(n)，其中n表示頂點數，那麼f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三個相鄰的頂點構成一個三角形，那麼另外兩個部分的頂點數分別爲2和n-1。

      設f(2) = 1，那麼f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。結合遞推式，不難發現f(n) 等於h(n-2)。

      應用7描述：有2n我的排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n我的有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？

     思路：能夠將持5元買票視爲進棧，那麼持10元買票視爲5元的出棧。這個問題就轉化成了棧的出棧次序數。由應用三的分析直接獲得結果，f(2n) 等於h(n)。

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