前言
相關連接
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一、<a href="https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9350432.html" target="_blank">求函數的定義域</a>；html
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二、<a href="https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9350622.html" target="_blank">求函數的值域</a>；函數
典例剖析
<LT>例1</LT>【2019貴陽檢測】下列函數中，同一個函數的定義域和值域相同的函數是【】spa
<div class="XZXX" >$A.y=\sqrt{x-1}$ $B.y=lnx$ $C.y=\cfrac{1}{3^x-1}$ $D.y=\cfrac{x+1}{x-1}$</div>htm
分析：對於選項$A$，函數$y=\sqrt{x-1}$，由$x-1\geqslant 0$獲得定義域爲$[1,+\infty)$，類比函數$y=\sqrt{x}$，可知其值域爲$[0,+\infty)$；故不選$A$;blog
對於選項$B$，函數$y=lnx$，定義域爲$(0,+\infty)$，值域爲$R$；故不選$B$;get
對於選項$C$，函數$y=\cfrac{1}{3^x-1}$，由$3^x-1\neq 0$獲得$3^x\neq 1=3^0$，故定義域爲$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$，求解值域時能夠這樣做，令$3^x-1=t$，則可知$t>-1$，故原函數的值域等價於求$y=\cfrac{1}{t}(t>-1)$的值域，可知其值域爲$(-\infty，-1)\cup (0,+\infty)$；故不選$C$;class
對於選項$D$，函數$y=y=\cfrac{x+1}{x-1}$，由$x-1\geqslant 0$獲得定義域爲$(-\infty，1)\cup (1,+\infty)$，又$y=\cfrac{x+1}{x-1}=1+\cfrac{2}{x-1}$，因爲$\cfrac{2}{x-1}\neq 0$，故$y\neq 1$，可知其值域爲$(-\infty，1)\cup (1,+\infty)$，故選$D$;im
<LT>例2</LT>【已知定義域或值域爲$R$求參數的取值範圍】已知函數$f(x)=ln(x^2+2ax-a)$，d3
①若是函數的定義域是$R$，求參數$a$的取值範圍；img
預備：先想想，這個函數的定義域應該怎麼求解？
分析：因爲函數的定義域是$R$，說明對任意的$x\in R$，都能使得$g(x)=x^2+2ax-a>0$，
轉化爲二次函數恆成立問題了，(此時至少能夠考慮數形結合或者恆成立分離參數)
這裏用數形結合，函數$g(x)$開口向上，和$x$軸沒有交點，則$\Delta <0$，
即$\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)<0$，解得$a\in (-1，0)$。
②若是函數的值域是$R$，求參數$a$的取值範圍；
分析：如右圖所示，要使得函數$f(x)$的值域是$R$，說明內函數$g(x)=x^2+2ax-a$必需要能取遍全部的正數，結合下圖，
<img src="http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170729140513472-490475033.gif" width=40% height=40% />
若是有一部分正實數不能取到，那麼函數$f(x)$的值域就不會是$R$，這樣只能是函數$g(x)$的$\Delta \ge 0$，
<img src="http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170729140526675-433037644.gif" width=40% height=40% />
而不能是$\Delta <0$，注意如今題目要求是值域爲$R$，而不是定義域爲$R$，
所以必須知足條件$\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)\ge 0$，解得$a\in {a\mid a\leq -1 ，a\ge 0}$。
下圖是參數$a\in [-3，3]$時的兩個函數圖像的動態變化狀況；
下圖是參數$a\in (-1，0)$時的兩個函數圖像的動態變化狀況；
<LT>例3</LT>【已知定義域或值域爲$R$求參數的取值範圍】【2018浙江名校協做體考試】函數$y=\sqrt{2ax^2+4x+a-1}$的值域爲$[0，+\infty)$，則$a$的取值範圍是____________。
分析：令$u=2ax^2+4x+a-1$，則$u$是$x$的仿二次函數，
①當$a=0$時，$u=4x$，則當$x\geqslant 0$時，$u\geqslant 0$，故值域爲$[0，+\infty)$，知足題意。
②當$a>0$時，須要$\Delta \geqslant 0$才能知足值域爲$[0，+\infty)$，此時容易錯想爲$\Delta \leqslant 0$；
故由$\left{\begin{array}{l}{a>0}\{\Delta=16-4\times2a(a-1)}\geqslant 0\end{array}\right.$ 解得$0<a\leqslant 2$，
綜上可知，$a\in [0，2]$.
<LT>例4</LT>【2019衡陽四中月考】若函數$y=\sqrt{a-a^x}(a>0，a\neq 1)$的定義域和值域都是$[0,1]$，則$log_a\frac{5}{6}+log_a\frac{48}{5}$=_______
分析：由題意可得，$a-a^x\geqslant 0$，又定義域是$[0,1]$，可得$a>1$，
則$y=\sqrt{a-a^x}$在定義域$[0,1]$上單調遞減，又因爲值域是$[0,1]$，則$f(0)=\sqrt{a-1}=1$，$f(1)=0$，
因此獲得$a=2$，代入$log_a\frac{5}{6}+log_a\frac{48}{5}=log_28=3$.