齊次座標理解

1. 齊次

事實上帶齊次的概念不少，純粹要說「齊次」的含義的話，彷佛比較抽象難懂，因此我以爲給出一個具體的齊次的東西來解釋可能會更好一點。

下面我要解釋的齊次座標(homogeneous coordinates)是我所熟悉的計算機視覺和圖形學這兩個領域中常常要用到的概念，同時，座標也是通常人均可以理解的東西。

二維空間中的一個點是用二元組表示的。咱們能夠增長一個額外的座標獲得三元組，同時咱們聲明這是同一個點。這看起來徹底無害，由於咱們能夠很簡單地經過增長或者刪除最後一個座標值來在兩種表示方式之間來回切換。如今，有一個很重要的問題是：最後一個座標爲何須要是1？畢竟，另外兩個數字沒有這樣的限制呀。比方說。在這裏，咱們要再給出一個定義，即當k非零時，全部形如的三元組都表示同一個點，好比和就表示同一個點。由此咱們就能夠引出齊次座標的定義，即給定一個二維點，那麼形如的全部三元組就都是等價的，它們就是這個點的齊次座標。對每個齊次座標，咱們只要把它除以三元組中的第三個數，便可獲得原始的二維點座標（這就是@祝文祥的答案中所說的同比收縮的一個例子）。不過我以爲，從字面上來看，齊次座標這個叫法仍是不那麼形象，不過看看和齊次對應的英文單詞homogeneous，咱們會發現這個詞有時還會被翻譯成「同質」，表示某一類東西擁有一些相同的性質，這麼來看的話，仍是挺形象的吧。

須要再次注意的是這裏的k是非零的，那麼若是會怎樣？由於除數不能爲的緣故，因此彷佛沒有任何二維點是和對應的。事實上，就是無窮遠處的點。之前，咱們用是沒法描述二維平面上的無窮遠點，但當咱們引入齊次座標以後，就能夠用來表示無窮遠點了。這就是引入齊次座標的一個好處。固然了，使用齊次座標還有不少好處。事實上，沒不少好處，咱們幹嗎要多用一個數字來表示二維點呀，多麻煩你說是吧。

以上關於齊次座標的內容翻譯並修改自《Multiview Geometry in Computer Vision (2nd Edition)》第2頁第9行開始的兩段。

2. 線性

再來講說「線性」。和「齊次」相似，帶「線性」的概念也不少，下面我也會給出一個具體的線性的東西來解釋，以防過於抽象。

「線性變換」(Linear Transformation)一樣是計算機視覺和圖形學中常常用到的東西。一般，咱們會用一個矩陣來表示一個線性變換，對於二維空間中的線性變換，咱們常常用3x3的矩陣來表示。當給定一個線性變換矩陣以後，咱們把它和一個齊次座標一乘就能夠獲得通過變換後的齊次座標了。

那麼爲何咱們要管這種變換叫線性變換而不是彎性變換呢？這裏拋開線性的數學定義不說，線性變換有一個重要的性質，很是形象地表達了這一律念，即保共線性（我記不清是否是叫這個名字了，望指正）。具體地說就是，在線性變換以前處於同一條直線上的3個點，通過線性變換以後一定還處於同一條直線上。換句話說，若是你畫了一條直線，這條直線在通過線性變換以後它一定仍是一條直線。

因此說，線性變換最喜歡直線了，除了直線之外的東西，好比角，在通過線性變換以後可能就徹底不同了，此外，還有長度、面積、平行等等，線性變換都不喜歡，不保證它們在變換以後還能維持原樣。

以上，但願能幫助你們理解這兩個概念。