【算法複習】求解遞歸式的方法

 求解遞歸式的方法

【代入法】

• 代入法求解分爲兩步：
  • 猜想解的形式
  • 用數學概括法求出解的常數C，並證實正確性，關鍵步驟是用猜想的解代入到遞歸式中。
• 作出好的猜想（沒有通常方法，只能憑經驗）
  • 與見過的解相似，則猜想之。
  • 先證較寬鬆的上、下界，減少猜想範圍。咱們能夠從下界Ω(n)開始，上界O(n^2)，而後逐漸收斂至(nlog2n)
• 細節修正
  • 有時猜想解是正確的，但數學概括法卻不能直接證實其細節，這是由於數學概括法不是強大到足以證實其細節。
  • 這時可從猜想解中減去一個低階項以使數學概括法得以知足
• 避免陷阱
  • 與求和式的數學概括法相似，證實時漸近記號的使用易產生錯誤。
  • 如：證實O(n)時必須嚴格證實≤cn，不能講其換作cn+n
• 變量變換
  • 有時改動變量能使未知遞歸式變爲熟悉的式子。例如：

【代入法例題】

 

【遞歸樹法】

• 遞歸樹最適合用來生成好的猜測，而後可用代入法來驗證猜想是否正確
• 須要關注：
  • 達到邊界條件所需的迭代次數
  • 迭代過程當中的和式。若在迭代過程當中已估計出解的形式，亦可用代入法

 

 【遞歸樹法例題】

 

【Master原理】

•  Master定理也叫主定理。它提供了一種經過漸近符號表示遞推關係式的方法。應用Master定理能夠很簡便的求解遞歸方程。

 

定理4.1（主定理） 令a≥1和b>1是常數，f(n)是一個函數，T(n)是定義在非負整數上的遞歸式：

　　　　　　　　　　　　　　T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中咱們將n/b解釋爲。那麼T(n)有以下漸近界：

　　

主定理的三種狀況，通過分析，能夠發現都是把f(n)與比較。

第一種狀況是更大，第二種狀況是 與f(n)相等，第三種狀況是f(n)更大。

 

【主定理例題】