（基於Java）算法之動態規劃——矩陣連乘問題

動態規劃（Dynamic Programming）：與分治法相似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，而後從這些子問題的解獲得原問題的解。與分治法不一樣的是，適用於動態規劃法求解的問題，經分解獲得的子問題每每不是互相獨立的。

　　使用動態規劃法求解的問題須要符合一些條件：

（1）：所求解問題必需要符合最優子結構；（最優子結構即：原問題的最優解中包含了子問題的最優解）

（2）：原問題分解出來的子問題相互之間存在聯繫，即遞歸時會重複解決以前已解決過的子問題。

 

　　先說明一些前提：

（1）：矩陣相乘的條件是：前一個矩陣的行數=後一個矩陣的列數；

（2）：能夠用數組p[0:n]來存放n個連乘矩陣的行數和列數（p[i-1]表示Ai的行數，p[i]表示Ai的列數）；

（3）：用A[i:j]表示Ai連乘到Aj，假設最優的加括號方式（最外層）是：（Ai*……*Ak）(Ak+1*……*Aj) 。

 

下面咱們先從動態規劃解決矩陣連乘問題的最初始的方法入手，代碼以下：

 1 private static int recurMatrixChain(int i,int j,int[] p)   //最初始的矩陣連乘問題算法
 2 {
 3     if(i == j) return 0;  //i == j，即只有一個矩陣，計算次數固然爲零
 4     int min = recurMatrixChain(i,i,p) + recurMatrixChain(i+1,j,p) + p[i-1] * p[i] * p[j];
 5     for(int k = i + 1; k < j; k++){
 6         int t = recurMatrixChain(i,k,p) + recurMatrixChain(k+1,j,p) + p[i-1] * p[k] * p[j];
 7         if(t < min) min = t; //從k處斷開，若是t比min更小，則說明存在更優的解決方法，把t賦值給min
 8     }
 9     return min;
10 }

　　遞歸掌握得好的話，結合註釋，理解起來並不會以爲困難。但這個方法存在一個嚴重的弊端，雖然能計算出最優解，可是在計算過程當中，其實調用了指數級別次的方法，而這麼屢次調用其實都在解決重複子問題而已。

 

　　下面介紹一種能解決上邊提到的問題，動態規劃解決矩陣連乘問題的第二種方法——備忘錄方法，代碼以下：

 1 private static int lookupChain(int i,int j,int[][] m,int[] p)
 2 {
 3     if(m[i][j] > 0) return m[i][j]; //若是m[i][j]非零，則說明該子問題被計算過，只需取出這個數，無需進行計算
 4     if(i == j) return 0;
 5     int min = lookupChain(i,i,m,p) + lookupChain(i+1,j,m,p) + p[i-1] * p[i] * p[j];
 6     for(int k = i + 1; k < j; k++){
 7         int t = lookupChain(i,k,m,p) + lookupChain(k+1,j,m,p) + p[i-1] * p[k] * p[j];
 8         if(t < min) min = t;
 9     }
10     m[i][j] = min; //對於未記錄的子問題，經過計算把該子問題的最優解求出後，存放在數組中
11     return min;
12 }
13     
14 private static int memoizedMatrixChain(int n,int[][] m,int[] p)   //這個就是解決矩陣連乘問題的備忘錄方法
15 {
16     for(int i = 1; i <= n; i++)
17         for(int j = 1; j <= n; j++)
18             m[i][j] = 0;     //對數組進行初始化
19     return lookupChain(1,n,m,p);
20 }

　　咱們能夠看出，lookupChain方法跟recurMatrixChain方法其實差很少，只是加插了兩行代碼而已，而這就是兩種算法之間的不一樣之處，就是最重要的地方。第一次調用時跟第一種方法同樣，同時記錄了子問題的最優解，當第二次調用時，即可以直接從備忘錄中提取子問題的最優解，大大地減小了方法的調用次數。

 

　　下面介紹另外一種動態規劃方法——填表法，個人老師將其稱爲真·動態規劃，代碼以下：

 1 private static void matrixChain(int n,int[][] m,int[] p){    //填表法，個人老師也叫這方法爲真·動態規劃方法
 2     for(int i = n-1; i >= 1; i--)
 3         for(int j = i+1; j <= n; j++){
 4             int min = m[i][j] + m[i+1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j];
 5             for(int k = i+1; k < j; k++){
 6                 int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j];
 7                 if(t < min) min = t;
 8             }
 9             m[i][j] = min;
10         }
11 }

　　咱們會發現，該算法其實跟第一種方法幾乎相同，可是這個算法是直接用數組來存放子問題的最優解，跟備忘錄方法稍有不一樣，並且這個算法並沒有使用遞歸。並且這個填表法其實須要我的有比較強的能力，咱們能夠先舉個簡單點的例子，而後本身畫一個二維數組，分析第一個數是填入到哪裏，第二個數是填入到哪裏，如此重複，找出規律後就能夠開始編寫本身的填表法了，在這裏的是自下而上的填表法。

　　到這裏結束了，若是有不對的地方或者對這個算法有更好的建議，歡迎指出！